Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
$a^x-x-1 \geq 0$
#1
Đã gửi 09-09-2016 - 20:48
Redragon
#2
Đã gửi 09-09-2016 - 21:43
Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
Điều kiện cho $a$: $a>0$.
"BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$
\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]
Xét $f(t)=\frac{\ln{(t+1)}}{t}$ với $t \in D:=(-1,0)\cup (0, \infty).$
\[\lim_{x\to \infty}\frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le \lim_{t\to 0^{-}}\frac{\ln{(t+1)}}{t}.\]\[\iff 0\le \ln a \le e.\]\[\iff a= e.\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-09-2016 - 23:28
Đời người là một hành trình...
#3
Đã gửi 09-09-2016 - 21:57
Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.
Cho mình hỏi tại sao có điều này với:
"BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$
$\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 09-09-2016 - 22:01
Redragon
#4
Đã gửi 09-09-2016 - 22:22
Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
Nếu $a\leq 1$ thì cho $x$ tiến ra vô cùng dẫn tới điều vô lí
Khi $a>1$, bất phương trình viết lại thành $a^x\geq 1+x$
Với $x\leq 0$, bất phương trình trên đúng với mọi $a>1$
Với $x>0$ thì nó có thể viết lại tiếp thành $a\geq (1+x)^\frac{1}{x}$, cho $x$ tiến về $0$ suy ra $a\geq e$
Với $a\geq e$ thì bất đẳng thức của ta đúng bằng cách kiểm tra với đạo hàm, từ đó ta có thể suy ra kết luận của bài toán
#5
Đã gửi 09-09-2016 - 23:13
Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.
Sai sót do tính toán nên sai kết quả!
Cho mình hỏi tại sao có điều này với:
"BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$
Vì \[a^x\ge x+1.\]
Với $x\le -1$ thì BĐT trở nên hiển nhiên và $x=0$, BĐT cũng đúng!
Phần tính toán sẽ kiểm tra và cập nhật! Đã cập nhật!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-09-2016 - 23:29
Đời người là một hành trình...
#6
Đã gửi 09-09-2016 - 23:33
Với $a\geq e$ thì bất đẳng thức của ta đúng bằng cách kiểm tra với đạo hàm, từ đó ta có thể suy ra kết luận của bài toán
Chỉ đúng với x\ge 0, với x\le không chắc đúng. Thử nghiệm cho thấy phương trình $3^x-x-1=0$ có hai nghiệm đơn. Suy ra $a=3>e$ không là giá trị cần tìm.
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh