anh ơi ở bài 2 : pt đầu tiên e giải được x=y rồi tiếp pt thứ 2 thay vào làm sao ạ ?
Trả lời dùm bác vanchanh123: Thay vào rồi thì "mò" nghiệm mà giải tiếp thôi!
Kiểm tra bằng máy tính (hoặc wolfram) thì ta biết phương trình có nghiệm $x=0$ và $x=1$.
Thay $x=y$ vào phương trình thứ hai ta được:
$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$
Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{3}$.
$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$
$$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x+\left [ \left ( x+1 \right )-\sqrt{3x+1} \right ]+2\left [ \left ( x+2 \right )-\sqrt[3]{19x+8} \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x+\dfrac{x^{2}-x}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{2\left ( x^{3}+6x^{2}-7x \right )}{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( x+2 \right )\sqrt[3]{19x+8}+\sqrt[3]{\left ( 19x+8 \right )^{2}}}=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-x \right )\left [ 2+\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{2\left ( x+7 \right )}{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( x+2 \right )\sqrt[3]{19x+8}+\sqrt[3]{\left ( 19x+8 \right )^{2}}} \right ]=0$$
Vì $x\geq -\dfrac{1}{3}$ nên $2+\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\dfrac{2\left ( x+7 \right )}{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( x+2 \right )\sqrt[3]{19x+8}+\sqrt[3]{\left ( 19x+8 \right )^{2}}}>0$ nên ta được $x^{2}-x=0$.
Nói một chút về việc xử lý phương trình thứ nhất của hệ: Có một cách khác (không hay hơn) để được $x=y$ như sau:
Nhận thấy $y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chia hay vế của phương trình thứ nhất của hệ cho $y\neq 0$ ta được:
$$\sqrt{5\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+2\dfrac{x}{y}+2}+\sqrt{2\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+2\dfrac{x}{y}+5}=3\left ( \dfrac{x}{y}+1 \right )$$
Đặt $\dfrac{x}{y}=t$ phương trình trở thành:
$$\sqrt{5t^{2}+2t+2}+\sqrt{2t^{2}+2t+5}=3\left ( t+1 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{5t^{2}+2t+2}-3t \right )+\left ( \sqrt{2t^{2}+2t+5}-3 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{-4t^{2}+2t+2}{\sqrt{5t^{2}+2t+2}+3t}+\dfrac{2t^{2}+2t-4}{\sqrt{2t^{2}+2t+5}+3}=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( \dfrac{t+2}{\sqrt{5t^{2}+2t+2}+3t}-\dfrac{2t+1}{\sqrt{2t^{2}+2t+5}+3} \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} t=1 \\ \dfrac{t+2}{\sqrt{5t^{2}+2t+2}+3t}=\dfrac{2t+1}{\sqrt{2t^{2}+2t+5}+3} \end{array}\right.$$
Vấn đề là bây giờ cần chứng minh $\dfrac{t+2}{\sqrt{5t^{2}+2t+2}+3t}=\dfrac{2t+1}{\sqrt{2t^{2}+2t+5}+3}$ vô nghiệm, để chứng minh ta chỉ cần xét đạo hàm hai vế sẽ thấy được phương trình này vô nghiệm.
Vậy ta được $t=1$ nên $\dfrac{x}{y}=1$ hay $x=y$ sau đó giải như bên trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 12-09-2016 - 16:36