Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 12-09-2016 - 19:00

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 linhphammai

linhphammai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Toán_Vật lý_Hóa học_Sinh học

Đã gửi 12-09-2016 - 19:07

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      

Xét $xy \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Xét $A = (x + \frac{1}{x})(y + \frac{1}{y})$

= $xy + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{1}{xy}$

= $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{1}{16xy} + \frac{15}{16xy} + xy$

$\geq \frac{15}{4} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$

Dấu = <=> $x = y = \frac{1}{2}$


NEVER GIVE UP... :angry:  

Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...

 

 


#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1313 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:analysis [ÒwÓ]

Đã gửi 12-09-2016 - 19:09

Ta có: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})=xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}+\frac{1-2xy}{xy}$

Mặt khác: $xy\leq \frac{1}{4}$.

Xét đạo hàm là ra rồi. 


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh