Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2
linhphammai

linhphammai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      

Xét $xy \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Xét $A = (x + \frac{1}{x})(y + \frac{1}{y})$

= $xy + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{1}{xy}$

= $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{1}{16xy} + \frac{15}{16xy} + xy$

$\geq \frac{15}{4} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$

Dấu = <=> $x = y = \frac{1}{2}$


NEVER GIVE UP... :angry:  

Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...

 

 


#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta có: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})=xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}+\frac{1-2xy}{xy}$

Mặt khác: $xy\leq \frac{1}{4}$.

Xét đạo hàm là ra rồi. 


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh