Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 13-09-2016 - 22:09

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 2

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(2 điểm):

Giải phương trình $x^2+x=2\sqrt[3]{(x^3-7)^2}+4\sqrt{x^3-7}$

 

Bài 2(6 điểm):

$1)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=a>0\\u_n=n+\frac{n}{u_n},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính $\lim \frac{u_n}{n}$

$2)$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x^3)+f(y^3)=(x^2-xy+y^2)\left ( f(x)+f(y) \right )\ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 3(3 điểm):

Cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$.$\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$ lần lượt là các phân giác ngoài các góc $A,B,C$.Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua $I$.$d_A,d_B,d_C$ là các đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$.Chứng minh rằng ba đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ đồng quy

 

Bài 4(6 điểm):

$1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

$2)$ Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn đẳng thức:

$3^a+5^b+7^c=6^d+3$

 

Bài 5(3 điểm):

Có bao nhiêu số tự nhiên có $50$ chữ số,chia hết cho $9$,trong đó có đúng $10$ chữ số $9$ và giữa hai chữ số $9$ bất kì có ít nhất hai chữ số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-09-2016 - 21:08

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-09-2016 - 22:31

Bài 4(6 điểm):

$1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Lời giải.

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó ta có:

$$\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+c1}\leq \dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{b+c+1}=1-\dfrac{1-a}{b+c+1}$$

Vậy ta cần chứng minh:

$$\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\leq \dfrac{1-a}{b+c+1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\left ( b+c+1 \right )\leq 1$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\left ( b+c+1 \right )\leq \left ( \dfrac{1-b+1-c+b+c+1}{3} \right )^{3}=1$$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
 
Làm bài được không em?

Thích ngủ.


#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-09-2016 - 08:25

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 2

NĂM HỌC 2016-2017

 

 

Bài 2(6 điểm):

 

$2)$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x^3)+f(y^3)=(x^2-xy+y^2)\left ( f(x)+f(y) \right )\ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu dãy hình như sai đề nha anh

câu hàm 

$x=y=0 => 2f(0)=0 => f(0)=0 $

$y=0 => f(x^3) = x^2f(x) $ 

Do đó $f(x^3) + f(y^3) = x^2f(x) + x^2f(y) -xyf(x) -xyf(y) +y^2f(x) +y^2f(y ) $

Do đó $x^2f(y) + y^2f(x) = xy( f(x) +f(y) )<=>x(xf(y) -yf(x) ) + y(yf(x)-xf(y)) =0 => (xf(y)-yf(x))(x-y) =0  $ 

Khi $x=y => xf(y)=yf(x) $

Mà khi $x \neq y => xf(y)=yf(x) $

Do đó $xf(y)=yf(x) , \forall x,y \in R $

Do đó thay $y=1 => f(x) =xf(1) $

Thử lại $f(x)=x$ 



#4 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 14-09-2016 - 11:10

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN 2

NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1(2 điểm):
Giải phương trình $x^2+x=2\sqrt[3]{(x^3-7)^2}+4\sqrt{x^3-7}$
 
Bài 2(6 điểm):
$1)$ Cho dãy số $(u_n):\left\{\begin{matrix} u_1=a>0\\u_n=n+\frac{n}{u_n},\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$ Tính $\lim \frac{u_n}{n}$
$2)$ Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x^3)+f(y^3)=(x^2-xy+y^2)\left ( f(x)+f(y) \right )\ ;\forall x,y\in \mathbb{R}$

 
Bài 3(3 điểm):
Cho $\Delta ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$.$\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$ lần lượt là các phân giác ngoài các góc $A,B,C$.Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua $I$.$d_A,d_B,d_C$ là các đường thẳng đối xứng với $d$ qua $\Delta _A,\Delta _B,\Delta _C$.Chứng minh rằng ba đường thẳng $d_A,d_B,d_C$ đồng ý
 
Bài 4(6 điểm):
$1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

$2)$ Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn đẳng thức:

$3^a+5^b+7^c=6^d+3$

 
Bài 5(3 điểm):
Có bao nhiêu số tự nhiên có $50$ chữ số,chia hết cho $9$,trong đó có đúng $10$ chữ số $9$ và giữa hai chữ số $9$ bất kì có ít nhất hai chữ số

 

Bài 2 Chắc đề là $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n},\forall n \geq 1$
 
- Ta sẽ chứng minh $u_n \ge n$ với mọi $n \ge 2$
 
Với $n=2$ thì $u_2=u_1+\frac{1}{u_1} \geq 2$ (Đúng theo cosi)
Giả sử khẳng định đúng với n=k, với n=k+1 thì
$u_{k+1}=u_k+\frac{k}{u_k} \ge k+1$ Đúng do nó tương đương $(u_k-1)(u_k-k) \ge 0$
 
- Ta chứng minh dãy$ \begin{Bmatrix} \frac{u_n}{n} \end{Bmatrix}$ là dãy giảm
 
Là $\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1}$
 
$\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1} \Leftrightarrow \frac{u_n}{n} \ge \frac{u_n+\frac{n}{u_n}}{n+1}\\\Leftrightarrow u_n \ge n$ (đúng)
 
Suy ra dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ giảm, bị chặn dưới nên có giới hạn.
 
Ta có $u_{n+1}=n+\frac{n}{u_n}$
 
$u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n} \Rightarrow \sum_{k=2}^{n}u_{k+1}=\sum_{k=2}^{n}u_k+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\\\Rightarrow u_{n+1}=u_2+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\leq n-2 \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{n+1}\le\frac{n-2+u_2}{n+1}$
 
$\Rightarrow 1 \le \frac{u_{n+1}}{n+1} \le\frac{u_2}{n+1}+\frac{n-2}{n+1}$
 
Lấy lim hai vế, suy ra giới hạn của dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ =1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 14-09-2016 - 11:11


#5 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 14-09-2016 - 11:32

 

Bài 4(6 điểm):

$1)$ Cho $a,b,c$ thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Xét $f(a)=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$ ($a \in  \left [ 0;1 \right ]$ )

 

$f"(a)= \frac{2b}{(c+a+1)^3}+\frac{2c}{(b+a+1)^3} \ge 0(\forall a\in[0;1])$

 

$\Rightarrow  f(a)$ đạt max tại hai đầu mút. 

 

Tương tự $f(b), f(c)$

 

Ta chỉ cần xét các giá trị $a=0, a=1, b=0, b=1, c=0, c=1$. Dễ thấy khi thay vào $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

 

Vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 14-09-2016 - 11:33


#6 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 14-09-2016 - 18:40

Bài 2 Chắc đề là $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n},\forall n \geq 1$
 
- Ta sẽ chứng minh $u_n \ge n$ với mọi $n \ge 2$
 
Với $n=2$ thì $u_2=u_1+\frac{1}{u_1} \geq 2$ (Đúng theo cosi)
Giả sử khẳng định đúng với n=k, với n=k+1 thì
$u_{k+1}=u_k+\frac{k}{u_k} \ge k+1$ Đúng do nó tương đương $(u_k-1)(u_k-k) \ge 0$
 
- Ta chứng minh dãy$ \begin{Bmatrix} \frac{u_n}{n} \end{Bmatrix}$ là dãy giảm
 
Là $\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1}$
 
$\frac{u_n}{n} \ge \frac{u_{n+1}}{n+1} \Leftrightarrow \frac{u_n}{n} \ge \frac{u_n+\frac{n}{u_n}}{n+1}\\\Leftrightarrow u_n \ge n$ (đúng)
 
Suy ra dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ giảm, bị chặn dưới nên có giới hạn.
 
Ta có $u_{n+1}=n+\frac{n}{u_n}$
 
$u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n} \Rightarrow \sum_{k=2}^{n}u_{k+1}=\sum_{k=2}^{n}u_k+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\\\Rightarrow u_{n+1}=u_2+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{u_k}\leq n-2 \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{n+1}\le\frac{n-2+u_2}{n+1}$
 
$\Rightarrow 1 \le \frac{u_{n+1}}{n+1} \le\frac{u_2}{n+1}+\frac{n-2}{n+1}$
 
Lấy lim hai vế, suy ra giới hạn của dãy $ \begin{Bmatrix}\frac{u_n}{n}  \end{Bmatrix}$ =1

nêu đề như vậy thi sử dụng trung bình cesaro là ra lim = 1 mà :v


~O)  ~O)  ~O)


#7 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 15-09-2016 - 21:02

Bài 5(3 điểm):

Có bao nhiêu số tự nhiên có $50$ chữ số,chia hết cho $9$,trong đó có đúng $10$ chữ số $9$ và giữa hai chữ số $9$ bất kì có ít nhất hai chữ số

 

Có mạng phát là phải xem ngay mấy đề thi HSG Tỉnh mới được  :D

Bỏ đi 10 chữ số 9 thì ta nhận được một dãy 40 chữ số

TH1: Số 9 là chữ số đầu tiên của số đó

Khi đó dãy gồm 40 chữ số kia là tùy ý( Tổng 40 chữ số đó chia hết cho 9)

Do đó số dãy gồm 40 chữ số như vậy là tổng các hạng tử ứng với lũy thừa chia hết cho $9$ của đa thức $P(x)=(1+x+x^2+...+x^9)^{40}$

Áp dụng định lý $RUF$ ta có thể dễ dàng tính được số dãy như vậy là $\dfrac{10^{40}+8}{9}$(Thực ra có thể không cần dùng định lý $RUF$ mà xét lần lượt xem dãy gồm $40$ chữ số kia thực chất tạo bởi số có mấy chữ số bằng cách bỏ đi dãy các số $0$ đứng đầu dãy)

Giờ ta xem 1 dãy như vậy tạo được bao nhiêu số thỏa mãn đề bài: 

Theo bài toán chia kẹo $Euler$ nó ứng với số nghiệm của phương trình: $x_1+x_2+...+x_9=40$ và $x_1,x_2,...,x_8 \geq 2, x_9 \geq 0$ 

Chúng tương đương với số nghiệm nguyên không âm của phương trình :$x_1+x_2+...+x_9=24$ và là $C^{8}_{32}$

TH2: Số 9 không là chữ số đầu tiên của số đó

Khi đó dãy 40 chữ số kia có số đầu khác $0$ hay nói cách khác nó là một số có $39$ chữ số  ( Tổng 40 chữ số đó chia hết cho 9)

Khi đó số số như vậy sẽ là $10^{39}$ 

Giờ ta xem 1 dãy như vậy tạo được bao nhiêu số thỏa mãn đề bài: 

Theo bài toán chia kẹo $Euler$ nó ứng với số nghiệm của phương trình: $x_1+x_2+...+x_9+x_10=40$ và $x_2,x_2,...,x_9 \geq 2, x_9 \geq 0,x_1 \geq 1$ 

Chúng tương đương với số nghiệm nguyên không âm của phương trình :$x_1+x_2+...+x_10=23$ và là $C^{9}_{32}$

Vậy số số thỏa mãn là $\dfrac{C^{8}_{32}\left(10^{40}+8\right)}{9}+10^{39}.C^{9}_{32}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 15-09-2016 - 21:02

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#8 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 16-09-2016 - 18:26

nêu đề như vậy thi sử dụng trung bình cesaro là ra lim = 1 mà :v

Mọi người cho em xin lời giải cách dùng Cesaro với.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh