Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh 2$a^{3}+2b^{3}+2c^{3}$$\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

2$a^{3}+2b^{3}+2c^{3}$$\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ với 0<a,b,c<1



#2
ILoveMath4864

ILoveMath4864

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
VÌ 0<a<1 nên suy ra $a^{2}<1 => 1-a^{2}>0$
Vì b<1 nên suy ra 1-b>0
Nhân theo vế ta có $(1-a^{2})(1-b)>0$
$<=> 1-b-a^{2}+a^{2}b>0$
$<=> 1+a^{2}b>a^{2}+b^{2}$
lại có $a^{2}+b> a^{3}+b^{3}$ (1)
$<=> a^{2}(1-a)+b(1-b^{2})>0$
vì a<1 nên 1-a>0, vì 0<b<1 nên b(1-b)(1+b)>0
suy ra bất đẳng thức (1) luôn đúng. 
mà $1+a^{2}>a^{2}+b$ suy ra $1+a^{2}>a^{3}+b^{3}$
chứng minh tương tự ta có
$1+b^{2}c>b^{3}+c^{3}$ và $1+c^{2}a>c^{3}+a^{3}$
cộng theo vế lại ta co đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 13-09-2016 - 23:42






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh