Đến nội dung

Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển Quốc Gia Hà Tĩnh 2016-2017 (2 ngày)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#21
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Ngày 1:
Câu 3:
k.png
a) Ta có: $A_1A_1' \perp BC \Rightarrow A_1A_1' \perp B_1'C_1'$
Chứng minh tương tự suy ra $A_1A_1',B_1B_1',C_1C_1'$ đồng quy tại $H'$ là trực tâm của tam giác $A_1'B_1'C_1'$
MẶt khác $H'A_1.H'A_1'=H'B_1.H'B_1'=H'C_1.H'C_1'$
Do đó $OH'$ là trục đẳng phương của $3$ đường tròn $(OA_1A_1'),(OB_1B_1'),,(OC_1C_1')$
Do đó $3$ đường tròn $(OA_1A_1'),(OB_1B_1'),,(OC_1C_1')$ cùng đi qua điểm $K$ khác $O$
b) Dễ thấy tam giác $A_1'B_1'C_1'$ là ảnh của tam giác $ABC$ qua phép đối xứng tâm $O$
Do đó $a,b,c$ cũng là độ dài $3$ cạnh của tam giác $A_1'B_1'C_1'$ và $OH=OH'$
Gọi $p'$ là chu vi của tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ thì dễ thấy $p'=\dfrac{P}{2}$ ( Do tam giác $A_{2}B_2C_2$ là ảnh của tam giác $A_1'B_1'C_1'$ qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $OK.OH'=\dfrac{abc}{2p'}$
Dễ thấy $OA_1' \perp B_2C_2$ nên $S_{OB_2A_1'C_2}=\dfrac{R.B_2C_2}{2}$ trong đó $R$ là bán kính của $(O)$
Chứng minh tương tự và cộng lại suy ra
$\dfrac{abc}{4R}=S_{A_1'B_1'C_1'}=\dfrac{R.p'}{2}\Rightarrow \dfrac{abc}{2p'}=R^2$
Lại có: $\widehat{OA_1A_1'}=\widehat{OA_1'A_1}=\widehat{OKA_1}$ nên $OA_1$ là tiếp tuyến của $(H'A_1K)$ suy ra $OK.OH'=OA_1^2=R^2$
Do đó ta có điều phải chứng minh
Câu 4: (Góp $1$ cách khác là đếm truy hồi)
Cho tập $S=\left\{1,2,3,...,n\right\}$. Gọi dãy $(a_1,...,a_n) $ là một dãy đẹp nếu có tính chất $2(a_1+a_2+a_3+...+a_k)\ \vdots\ k$ $\forall k=1,2,...,n$. Khi đó gọi $s_n$ là số dãy đẹp trong các hoán vị của $S$. Ta cần tính $s_{2016}$
Trước hết ta chứng minh $s_n=2s_{n-1}$ $\forall n$ chẵn
Thật vậy ta có: $2(\dfrac{n(n+1)}{2}-a_n) \vdots n-1$
Do đó $2a_{n}\equiv 2 (mod \ n-1)$ hay $a_n \equiv 1 (mod \ n-1)$
Do đó $a_n=1$ hoặc $a_n=n-1$
Rõ ràng nếu $(a_1,...,a_n) $ là một dãy đẹp và $a_1,...,a_n >1$ thì $(a_1-1,...,a_n-1) $ cũng là một dãy đẹp
Do đó nếu $n$ chẵn thì $s_n=2s_{n-1}$
Với $n$ lẻ và $n>3$. Đặt $n=2k+1 \Rightarrow k>1$
Xét tương tự trường hợp $n$ chẵn thì $a_n \equiv 1 (mod \ k)$
Do đó $a_n=1$ hoặc $a_n=n$ hoặc $a_n=k+1$
Tương tự trên $s_n=2s_{n-1}+t_n$ trong đó $t_n$ là số dãy đẹp có $a_n=k+1$
Giờ ta sẽ xét $a_{n-1}$
Ta có: $2\left(\dfrac{n(n+1)}{2}-a_{n-1}-(k+1)\right) \vdots n-2$
Do $n-2$ là số lẻ nên $a_{n-1}+k+1 \equiv 3 (mod \ n-2)$
Ta có: $a_{n-1}+k+1 \leq n+k+1< 2(n-2)+3$ (Với $k >1$)
Và $a_{n-1}+k+1>1+1+1=3$ nên suy ra $a_{n-1}+k+1 = (n-2)+3=n+1=2(k+1)$ nên $a_{n-1}=k+1$ suy ra vô lý
Do đó $t_n=0$ với $n$ lẻ và $n>3$
Kết hợp những điều trên suy ra $s_n=2s_{n-1}$ với mọi $n$ nguyên dương và $n>3$
Từ đây dễ dàng suy ra với mọi $n$ nguyên dương và $n>3$ thì $s_n=2^{n-3}s_3$
Mặt khác dễ thấy $s_3=6$ nên $s_n=2^{n-3}.6=3.2^{n-2}$ với mọi $n$ nguyên dương và $n>3$
Vậy $s_{2016}=3.2^{2014}$

iii




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh