1 reply to this topic

[VMF123]

[L Lawliet]

Capture.PNG

Lời giải.

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$

Lấy $\left ( 1 \right )+i\left ( 2 \right )$ ta được:

$$x+yi+\dfrac{3\left ( x-yi \right )-\left ( xi+y \right )}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 3 \right )$$

Đặt $z=x+yi$ phương trình $\left ( 3 \right )$ trở thành:

$$z+\dfrac{3\overline{z}-\overline{z}i}{\left | z \right |^{2}}=3$$

$$\Leftrightarrow z+\dfrac{3-i}{z}=3$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} z=2+i \\ z=1-i \end{array}\right.$$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.

----

Bài toán này xây dựng từ số phức nên giải bằng số phức là nhanh nhất. Tuy nhiên để hợp với chương trình mình trình bày lời giải khác không sử dụng số phức:

Lời giải.

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$

Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ đều không phải nghiệm của hệ nên xét $xy\neq 0$.

Lấy $y\left ( 1 \right )+x\left ( 2 \right )$ ta được:

$$2xy-1=3y$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{3y+1}{2y}$$

Thay vào $\left ( 2 \right )$ ta được:

$$y-\dfrac{\frac{3y+1}{2y}+3y}{\left ( \frac{3y+1}{2y} \right )^{2}+y^{2}}=0$$

$$\Leftrightarrow y\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( 4y^{2}+1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=0 \\ y=\pm 1 \end{array}\right.$$

Vì $y\neq 0$ nên ta được $y=\pm 1$.

Với $y=1$ ta được $x=2$, với $y=-1$ ta được $x=1$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.

Edited by L Lawliet, 21-09-2016 - 14:20.