Chủ đề này có 5 trả lời

[hanh7a2002123]

1/Cho các số x,y,z t/m: $x^2+xy+y^2=3$ và $y^2+yz+z^2=16$
CMR: $|xy+yz+zx|$ $\leq$ $8$
​2/ Cho $ a,b,c \in R $ t/m: $a^2+b^2=1$. CMR: $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq a^3+b^3\leq 1$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanh7a2002123: 22-09-2016 - 14:57

[thuylinhnguyenthptthanhha]

1/Cho các số x,y,z t/m: $x^2+xy+y^2=3$ và $y^2+yz+z^2=16$
CMR: $|xy+yz+zx|$ $\leq$ $8$
 

Giả thiết suy ra:

$(y+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=3$

và:

$(y+\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=16$

Nhân vế với vế.

Ta có:

$VT \geq [(y+\frac{x}{2}).\frac{\sqrt{3}x}{2}+......]^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2})^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

(Cauchy )

Suy ra: $48 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

$=>$đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhnguyenthptthanhha: 22-09-2016 - 15:14

[Iceghost]

​2/ Cho $ a,b,c \in R $ t/m: $a^2+b^2=1$. CMR: $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq a^3+b^3\leq 1$
 

+) Từ $a^2 + b^2 = 1 \implies |a|,|b| \leqslant 1 \implies -1 \leqslant a, b \leqslant 1$

Ta có : $a^2(a-1) \leqslant 0 \iff a^3 \leqslant a^2$

Tương tự : $b^3 \leqslant b^2$

$\implies S = a^3 + b^3 \leqslant a^2 + b^2 = 1$

Dấu '=' xảy ra $\iff (a;b) = (0;1)$ và hoán vị

 

+) Ta có :

$\left( a^3 + \dfrac{a}2 \right) + \left( b^3 + \dfrac{b}2 \right) \overset{AM-GM}{\geqslant} \sqrt{2} a^2 + \sqrt{2} b^2 = \sqrt{2}$

$\implies a^3 + b^3 \geqslant \sqrt{2} - \dfrac{a+b}2 \geqslant \sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \dfrac1{\sqrt{2}} = \dfrac1{\sqrt{2}}$

$\implies S \geqslant \dfrac1{\sqrt{2}}$

Dấu '=' xảy ra $\iff a = b = \dfrac1{\sqrt{2}}$

 

Vậy $\dfrac1{\sqrt{2}} \leqslant S \leqslant 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iceghost: 22-09-2016 - 18:01

[hanh7a2002123]

Giả thiết suy ra:

$(y+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=3$

và:

$(y+\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2=16$

Nhân vế với vế.

Ta có:

$VT \geq [(y+\frac{x}{2}).\frac{\sqrt{3}x}{2}+......]^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2})^2 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

(Cauchy )

Suy ra: $48 \geq \frac{3}{4}(xy+yz+zx)^2$

$=>$đpcm!

E không hiểu lắm ?

[thuylinhnguyenthptthanhha]

E không hiểu lắm ?

đoạn nào v nhỉ?   

**đừng nói cả bài     

[hanh7a2002123]

đoạn nào v nhỉ?   

**đừng nói cả bài     

Dạ không . Tại BĐT c dùng là binhia mà c lại viết là cauchy nên e hơi ... bây h e hiểu r.