Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển HSG QG Phú Thọ 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 24-09-2016 - 20:39

Ngày 1:

Bài 1: Xét dãy số thực vô hạn $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn 

$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}$ với mọi số nguyên dương $m,n$

Chứng minh rằng $(x_n)$ là cấp số cộng

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Các cạnh $AB,AC$ tiếp xúc với $(I)$ tại $E,F$. Đường thằng qua $B$ song song với $AC$ cắt $EF$ tại $K$. $CK$ cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh tam giác $AIG$ vuông

Bài 3: Một hàng cây bưởi Đoan Hùng gồm $17$ cây thẳng hàng đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ $1$ đến $17$. Ban đầu mỗi cây có một con đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau giờ có hay không trường hợp mà 

a) Không có con ong ở cây có số thứ tự chẵn 

b) Có $9$ con ong ở cây cuối cùng 

Bài 4: Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ khác đa thức không sao cho $10^n-3n-2016$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$

Ngày 2:

Bài 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn

$$(x^2-6x+8)P(x)-(x^2+2x)P(x-2)=6x^2-12x$$ 

Bài 6: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$. Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ nằm về một phía đối với đường thẳng $AB$, Tiếp xúc với nhau tại $T$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung tại $T$ của $(O_1),(O_2)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ (Với $C$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $(O_1),(O_2)$). Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Bài 7: Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số cách chọn các dấu cộng, trừ trong biểu thức $E_n= \pm 1 \pm 2 \pm \dots \pm n$ sao cho $E_n=0$. Chứng minh rằng

a) $f(n)=0$ khi $n \equiv 1,2 (mod 4)$ 

a) Khi $n \equiv 0,3 (mod 4)$ ta có $\dfrac{\sqrt{2^n}}{2} \leq f(n) \leq 2^n -2^{1+[\dfrac{n}{2}]}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 25-09-2016 - 15:30

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#2 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 24-09-2016 - 21:26

Bài hình ngày 2 là đề thi Duyên Hải năm 2016 vừa ms thi. Nó chính là định lí Thebault mà thôi :)


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:LMHT , ONE PIECE

Đã gửi 24-09-2016 - 23:01

Đường thẳng qua $I$ vuông góc $AI$ cắt $AC, AB$ tại $H$ và $G' ; CG'$ cắt $EF$ tại $K'$.

ta có $\Delta CIH \sim \Delta IBG' (g-g)\Rightarrow BG'.HC=G'I^2=G'E.G'A \Rightarrow \frac{BG'}{G'A}=\frac{G'E}{HC}$ (1)

$G'H$ song song $K'F \Rightarrow \frac{K'G'}{G'C}=\frac{FH}{HC}=\frac{EG'}{HC}$ (2)

từ (1)(2) $\Rightarrow \frac{BG'}{G'A}=\frac{K'G'}{G'C}$ hay $BK'$ song song $AC$.

$\Rightarrow K\equiv K'\Rightarrow G \equiv G'$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-09-2016 - 00:15


#4 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 25-09-2016 - 00:46

Bài 3 ngày 1 là một bài quen thuộc về bất biến và từng xuất hiện trong topic đề thi mẫu hướng tới VMO 2016 tại đây.

 

Bài 6 ngày 2 có thể giải không cần sử dụng định lí Thebault mà chỉ cần sử dụng phương tích với định lí Thales là được, cụ thể :

Gọi $X,Y$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $BC$. $Z,T$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $\odot (O)$.

Theo định lí Thales $ZX,TY$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $C$. Gọi điểm đó là $D$.

Theo định lí về tâm đẳng phương thì $CT,ZX,TY$ đồng quy nên $C,T,D$ thẳng hàng.

Ta có $DT^2=\overline{DX}\cdot \overline{DZ}=DA^2$ nên $T$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.

 

PS. Mình nghĩ có thể đây là bài đề nghị của THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ cho cuộc thi Duyên Hải 2016 nên không thể nói là sao chép được! :)



#5 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 25-09-2016 - 10:23

Bài 6. Ngoài cái việc $(O_1),(O_2)$ nằm cùng phía với $AB$ thì $(O_1),(O_2)$ còn mối quan hệ gì với AB không??



#6 mathslover

mathslover

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 10:26

Bài 4 có thể giải khá đơn giản như sau:

+) Xét P(x) là đa thức hằng ta xét P(2) và P(5) để chỉ ra P(x) chỉ có thể đồng nhất 1 hoặc -1

+) Xét DEG P > 1.

Khi đó luôn tồn tại M nguyên dương sao cho với mọi n lớn hơn M thì |P(x)| > 1.

Xét n > M thì tồn tại số nguyên tố p là ước của P(n)

Suy ra p cũng là ước của P(n+p). Từ đây xử lí số học chỉ ra p chỉ có thể là 2 hoặc 5. 

Chọn n -1 chia hết cho 2 và n-1 chia hết cho 5 (Tất nhiên vẫn có n>M) thi luôn tồn tại n như trên theo định lý thặng dư Trung Hoa.

Khi đó P(n) không chia hết cho cả 2 và 5 nên mâu thuẫn

 

Vậy P(x) đồng nhất 1 và -1 là hai đa thức duy nhất thỏa mãn.



#7 mathslover

mathslover

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 10:30

Bài 5: 

TH1: P(x) đồng nhất ....

TH2: Deg P = 1. Khi đó sử dụng đồng nhất hệ số ta tìm được P(x) = -x thỏa mãn

TH3: Deg P = n>1. Đặt P(x) = a(n) x^n + a(n-1) x^(n-1) +... + a1 x +a0

Đồng nhất hệ số cho bậc n+1 >2 ta tìm được n=4.

Tiếp tục sử dụng đồng nhất hệ số để chỉ ra không tồn tại thêm đa thức thỏa mãn.  



#8 captain luffy7

captain luffy7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Mathematics...

Đã gửi 25-09-2016 - 10:41

Bài 3 ngày 1 là một bài quen thuộc về bất biến và từng xuất hiện trong topic đề thi mẫu hướng tới VMO 2016 tại đây.

 

Bài 6 ngày 2 có thể giải không cần sử dụng định lí Thebault mà chỉ cần sử dụng phương tích với định lí Thales là được, cụ thể :

Gọi $X,Y$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $BC$. $Z,T$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $\odot (O)$.

Theo định lí Thales $ZX,TY$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $C$. Gọi điểm đó là $D$.

Theo định lí về tâm đẳng phương thì $CT,ZX,TY$ đồng quy nên $C,T,D$ thẳng hàng.

Ta có $DT^2=\overline{DX}\cdot \overline{DZ}=DA^2$ nên $T$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.

 

PS. Mình nghĩ có thể đây là bài đề nghị của THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ cho cuộc thi Duyên Hải 2016 nên không thể nói là sao chép được! :)

Bài này là bài đề nghị của Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng :D  :D



#9 yeutoanmanhliet

yeutoanmanhliet

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 10:55

câu 1 làm sao



#10 yeutoanmanhliet

yeutoanmanhliet

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 11:07

Bài 4 có thể giải khá đơn giản như sau:

+) Xét P(x) là đa thức hằng ta xét P(2) và P(5) để chỉ ra P(x) chỉ có thể đồng nhất 1 hoặc -1

+) Xét DEG P > 1.

Khi đó luôn tồn tại M nguyên dương sao cho với mọi n lớn hơn M thì |P(x)| > 1.

Xét n > M thì tồn tại số nguyên tố p là ước của P(n)

Suy ra p cũng là ước của P(n+p). Từ đây xử lí số học chỉ ra p chỉ có thể là 2 hoặc 5. 

Chọn n -1 chia hết cho 2 và n-1 chia hết cho 5 (Tất nhiên vẫn có n>M) thi luôn tồn tại n như trên theo định lý thặng dư Trung Hoa.

Khi đó P(n) không chia hết cho cả 2 và 5 nên mâu thuẫn

 

Vậy P(x) đồng nhất 1 và -1 là hai đa thức duy nhất thỏa 

anh chưa chứng minh P(n) với n-1 nguyên tố cùng nhau thì phải



#11 mathslover

mathslover

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 15:17

anh chưa chứng minh P(n) với n-1 nguyên tố cùng nhau thì phải

Mình không hiểu ý bạn lắm, bạn nói rõ hơn được không?



#12 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 25-09-2016 - 15:27

Bài 3 ngày 1 là một bài quen thuộc về bất biến và từng xuất hiện trong topic đề thi mẫu hướng tới VMO 2016 tại đây.

 

Bài 6 ngày 2 có thể giải không cần sử dụng định lí Thebault mà chỉ cần sử dụng phương tích với định lí Thales là được, cụ thể :

Gọi $X,Y$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $BC$. $Z,T$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $\odot (O)$.

Theo định lí Thales $ZX,TY$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $C$. Gọi điểm đó là $D$.

Theo định lí về tâm đẳng phương thì $CT,ZX,TY$ đồng quy nên $C,T,D$ thẳng hàng.

Ta có $DT^2=\overline{DX}\cdot \overline{DZ}=DA^2$ nên $T$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.

 

PS. Mình nghĩ có thể đây là bài đề nghị của THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ cho cuộc thi Duyên Hải 2016 nên không thể nói là sao chép được! :)

Bài này là đề nghị của Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng em ạ. Bài $3$ ngày một dùng bất biến thì có lẽ tác giả cũng đã đổi đi cho phù hợp với địa phương thì có thể ổn. Nhưng đến bài $7$ tổ hợp ngày $2$ nếu ai có đọc qua về phương pháp song ánh thì cũng sẽ biết ngay đây là một bài trong $Romani TST 2002$. 

PS. Theo quan điểm của mình có lẽ vấn đề này cũng nên chấm dứt tại đây 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 25-09-2016 - 15:33

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#13 captain luffy7

captain luffy7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Mathematics...

Đã gửi 25-09-2016 - 15:31

Bài này là đề nghị của Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng em ạ không khác một từ. Bài $3$ ngày một dùng bất biến thì có lẽ tác giả cũng đã đổi đi cho phù hợp với địa phương thì có thể ổn. Nhưng đến bài $7$ tổ hợp ngày $2$ nếu ai có đọc qua tài liệu về phương pháp song ánh thì cũng sẽ biết ngay đây là một bài trong $Romani TST 2002$. 

PS. Theo quan điểm của mình có lẽ vấn đề này cũng nên chấm dứt tại đây 

Bạn có thể dẫn nguồn file phương pháp song ánh ấy được không?



#14 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 25-09-2016 - 17:22

câu 1 làm sao

Bài 1 mình làm thế này:

Ta có: $|(x_{a+1}-x_a)-(x_{b+1}-x_b)|=|(x_{a+b+1}-x_a-x_{b+1})-(x_{a+b+1}-x_b-x_{a+1})|\leq |x_{a+b+1}-x_a-x_{b+1}|+|x_{a+b+1}-x_b-x_{a+1}|$

$<\frac{2}{a+b+1}$

Do đó:
$|(x_{m+1}-x_m)-(x_{n+1}-x_n)|=|(x_{m+1}-x_m)-(x_{a+1}-x_a)+(x_{a+1}-x_a)-(x_{n+1}-x_n)|<\frac{2}{a+m+1}+\frac{2}{a+n+1}$

Cho $a\rightarrow +\infty$ ta được $x_{m+1}-x_m=x_{n+1}-x_n=d$

Do đó $(x_n)$ là cấp số cộng

 

Bài 7 có thể tìm thấy trong cuốn Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tổ hợp rời rạc của thầy Nguyễn Văn Thông nhé (có thể dùng hàm sinh để giải :) )

Bài 3a dùng $\mod 2$ như trong link của Bảo, câu b ta đặt giá trị của con ong tương ứng với giá trị của cây mà con ong đó đang đậu, khi đó dễ thấy tổng giá trị tất cả con ong là bất biến và bằng $n(2n-1)$ trong TH tổng quát $2n-1$ cây, nếu có $n$ con ong đậu ở cây $2n-1$ thì tổng sẽ $>n(2n-1)$ (vô lý)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 25-09-2016 - 21:14

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#15 Nguyen Van Luc

Nguyen Van Luc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ba Vì, Hà Nội
  • Sở thích:Thơ ca, Toán học, ...

Đã gửi 27-09-2016 - 15:28

Bài 5 theo 1 hướng khác. Dễ thấy $P(x)=c\$ không thoả mãn.

$(x^2-6x+8)P(x)-(x^2+2x)P(x-2)=6x^2-12x,  (1)$
Thay $x=0$ vào $(1)$ ta được $P(0)=0$.

Nên $P(x)$ được tách dưới dạng $P(x)=x.Q(x)$ trong đó $Q(x)$ là 1 đa thức hệ số thực.

Thay vào $(1)$ ta được:

$(x-4)Q(x)-(x+2)Q(x-2)=6$

$ \Leftrightarrow  (x-4)Q(x)+x-4=(x+2)Q(x-2)+x+2 \forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra $(x-4)Q(x)+x-4=c \Leftrightarrow Q(x)=\frac{c}{x-4}-1$Do $Q(x) $ là đa thức hệ số thực nên $(x-4)|c \forall c \Leftrightarrow c=0 $

Từ đó có  $P(x)=-x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Luc: 27-09-2016 - 15:31

Khi sự sống không bắt nguồn từ tình yêu

___Thì cuộc đời chẳng còn gì là ý nghĩa___





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh