a,b,c>0.CM: $\sum cyc\frac{1}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2+c^2}{8}\geq \sum cyc\frac{1}{a+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangpro1811: 26-09-2016 - 22:39
$\sum cyc\frac{1}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2+c^2}{8}\geq \sum cyc\frac{1}{a+3}$
Bắt đầu bởi hoangpro1811, 26-09-2016 - 21:32
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 15-05-2021 - 16:51
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
a,b,c>0.CM: $\sum cyc\frac{1}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2+c^2}{8}\geq \sum cyc\frac{1}{a+3}$
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết về dạng: $(\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2})+(\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{b^2+c^2}{2})+(\frac{8}{(c+a)^2+4abc}+\frac{c^2+a^2}{2})\geqslant \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\geqslant \frac{8}{(a+b)^2+c(a+b)^2}+\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{8}{(c+1)(a+b)^2}+\frac{(a+b)^2}{4}\geqslant 2\sqrt{\frac{8}{(c+1)(a+b)^2}.\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{8}{2\sqrt{2(c+1)}}\geqslant \frac{8}{c+3}$
Tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
