Đến nội dung

Hình ảnh

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p-1)!\sum_{1}^{p-1}\frac{1}{k}\vdots p^2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

1, Cho a,m,n là các số nguyên dương, a lẻ, m khác n. CMR $a^{2^{m}}+2^{2^{m}}$ và $a^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ nguyên tố cùng nhau

2, Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR  $(p-1)!\sum_{1}^{p-1}\frac{1}{k}\vdots p^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 30-09-2016 - 21:26


#2
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Bài 2:

$(p-1)!\sum_{1}^{p-1}\frac{1}{k}=(p-1)![(1+\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...+(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}})]=p(p-1)![\frac{1}{1(p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}]\vdots p$ 

Như vậy nếu ta chứng minh được:$(p-1)![\frac{1}{1(p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}]\vdots p$ thì bài toán được giải quyết

Có: $(p-1)![\frac{1}{1(p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}]\equiv (\frac{p-1}{2})!^2[1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(\frac{p-1}{2})^2}]$ (mod p)

Mặt khác:$(\frac{p-1}{2})!^2[1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{(\frac{p-1}{2})^2}]\equiv(\frac{p-1}{2})!^2[1^2+2^2+...+(\frac{p-1}{2})^2]$ (mod p)

(vì p nguyên tố nên $(\frac{p-1}{2})!^2[1;\frac{1}{2^2};...;\frac{1}{(\frac{p-1}{2})^2}]$ và $(\frac{p-1}{2})!^2[1^2;2^2;...;(\frac{p-1}{2})^2]$ có thể coi như 2 hệ thặng dư đầy đủ của $a^2$ theo mod p) 

=>$(p-1)![\frac{1}{1(p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}]\equiv (\frac{p-1}{2})!^2[1^2+2^2+...+(\frac{p-1}{2})^2]$ (mod p)

Mà:$(\frac{p-1}{2})!^2[1^2+2^2+...+(\frac{n-1}{2})^2]=(\frac{p-1}{2})!^2.\frac{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}.p}{6}\vdots p$

=>$(p-1)![\frac{1}{1(p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}]\vdots p$

=>Vậy ta có ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 01-10-2016 - 19:34


#3
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Câu 1:Đã có ở đây

http://diendantoanho...minh-22m122n11/



#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Câu 1:Đã có ở đây

http://diendantoanho...minh-22m122n11/

Mở rộng : $a$ là số nguyên dương lẻ .Đặt $u_n=2^{2^n}+a^{2^n},n$ nguyên dương. Tính $(u_m,u_n),m \ne n$ 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh