Chủ đề này có 1 trả lời

[Hagoromo]

Chứng minh rằng với mọi số n$\geq$ 2 thì $S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}$$  không là số nguyên

[Hai2003]

$S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}=(n-1)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)$

Để chứng minh $S$ không là số nguyên, ta chứng minh $A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ không là số nguyên. (vì $n-1$ là số nguyên rồi)

Rõ ràng $A>0$

Ta có $2^2>1.2\implies\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}$

Làm tương tự rồi cộng lại ta được $A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\\ A<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\ A<1-\frac{1}{n}<1$

Suy ra $0<A<1$ nên $A$ không là số nguyên, hay $S$ không là số nguyên.