Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min P=$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$



#2
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

Thôi mình giải đc r k cần làm đâu



#3
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

\[{\left( {a + b + c} \right)^2} = 1 \geqslant 3\left( {ab + bc + ac} \right)\]

\[ + \frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{27a\left( {b + c} \right)}}{8} + \frac{{27a\left( {b + c} \right)}}{8}\]

\[ \geqslant 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}{{.27}^2}}}{{{8^2}}}}} = \frac{{27a}}{4}\]

\[P = \sum {\frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} \geqslant \frac{{27}}{4}\left( {a + b + c} \right) - \frac{{27}}{2}\left( {ab + bc + ac} \right)} \]

\[ \geqslant \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2}{\left( {a + b + c} \right)^2} = \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4}\]

 

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$


Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#4
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

\[{\left( {a + b + c} \right)^2} = 1 \geqslant 3\left( {ab + bc + ac} \right)\]

\[ + \frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{27a\left( {b + c} \right)}}{8} + \frac{{27a\left( {b + c} \right)}}{8}\]

\[ \geqslant 3\sqrt[3]{{\frac{{{a^3}{{.27}^2}}}{{{8^2}}}}} = \frac{{27a}}{4}\]

\[P = \sum {\frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} \geqslant \frac{{27}}{4}\left( {a + b + c} \right) - \frac{{27}}{2}\left( {ab + bc + ac} \right)} \]

\[ \geqslant \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2}{\left( {a + b + c} \right)^2} = \frac{{27}}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4}\]

Cách khác

Ta có

$\frac{a}{(1-a)^2}-\frac{9}{2}a+\frac{3}{4}=\frac{(3a-1)^2(3-2a)}{4(1-a)^2}\geq 0$

TT, cộng lại có

$P\geq\frac{9}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}$

Vậy ...



#5
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Áp dụng BCS ta có

$[\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}](a+b+c)

\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}

\geq \frac{9}{4}\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}$

Đẳng thức xảy ra kvck a=b=c=1/3



#6
doanminhhien127

doanminhhien127

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết

bài này có làm theo cách bunhiacopxki đc ko. Nếu có thì các bạn chỉ giúp mình vs. Cảm ơn nhiều


Mong các bạn có thể giải bài giúp mình càng sớm, chi tiết dễ hiểu ( nhiều cách khác nhau) càng tốt. Cảm ơn nhiều.  


#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$

Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}=\frac{9}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c =\frac{1}{3} $


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh