Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017(vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Thủy 1, Thanh Hóa
  • Sở thích:toan hoc,cau long,co tuong

Đã gửi 01-10-2016 - 18:22

Đề vòng 2

 

Câu 1. Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$
Chứng minh rằng :

$$\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$$

 

Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số là các số nguyên thỏa mãn $P(n)|n^{(n-1)^{2016}}-1$ với mọi số nguyên dương $n$

 

Câu 3. Với mọi số nguyên dương $n$ cho trước,tính tổng sau theo $n$ :

$$S_n=\sum_{i=0}^{\left[\frac{n+1}{2} \right]} C_{n-i+1}^i$$

 

Trong đó $C_k^m=\frac{m!}{k!.(m-k)!}$ và $\left[\frac{n+1}{2} \right]$ là phần nguyên của $\frac{n+1}{2}$

 

C360_2016-10-01-11-34-36-471.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 03-10-2016 - 23:21

Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#2 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-10-2016 - 19:08

Bài 3. (Một bài quen thuộc)

Dễ thấy $C^i_{n-i+1}$ là số tất cả các tập con gồm $i$ phần tử của tập hợp $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ sao cho không chứa hai số nguyên liên tiếp.

Từ đó $S_n$ là số tất cả các tập con của $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ sao cho không chứa hai số nguyên liên tiếp.

Nhận thấy tập $S_n$ được cho bởi :

$i,$ $S_{n-1}$

$ii,$ Các tập con của $S_{n-1}$ mà không chứa phần tử $n-1$ và thêm vào phần tử $n$

Do đó $S_n=S_{n-1}+S_{n-2}$.

Mặt khác dễ thấy $S_0=1$ và $S_1=2$ nên 

$S_n=\sum_{i=0}^{[\frac{n+1}{2}]} C_{n-i+1}^i=\frac{5+3\sqrt{5}}{10}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+\frac{5-3\sqrt{5}}{10}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$



#3 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 01-10-2016 - 19:27

Câu 1 : Thực chất là đề IMO shortlist 2009 câu A2

http://www.artofprob...h355781p1932917



#4 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-10-2016 - 20:50

Câu 1 : Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$
 

Thuần nhất hóa và đổi biến $(x;y;z) -> (\dfrac{1}{x} ; \dfrac{1}{y} ; \dfrac{1}{z} ) $

Sau đó chuẩn hóa $x+y+z=3$

BĐT chứng minh được viết lại thành

$\sum \frac{1}{(x+3)^2} \leq \frac{1}{16} ( \sum \frac{1}{x}  ) $

Mặt khác, ta chứng minh đc 

$\frac{1}{(x+3)^2} -\frac{1}{16} .\frac{1}{x} \leq \frac{1}{32} x -\frac{1}{32} $

Do đó cộng lại ta có đpcm



#5 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-10-2016 - 21:08

Lời giải khác cho bài 1.

Từ giả thiết suy ra $xy+yz+xz=xyz(x+y+z)$

Đặt $yz=a,zx=b,xy=c$ thì $a+b+c=ab+bc+ca$, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow $

\[\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{3}{16abc}\]

Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$,

$\frac{1}{[(a+b)+(b+c)]^2}\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)}$

Thiết lập các bất đẳng thức còn lại tương tự, ta sẽ chứng minh 

\[\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{3}{4abc}\]

Đổi biến $p,q,r$ thì $p=q$ và bất đẳng thức trở thành $\frac{2p}{(pq-r)q}\leq \frac{3}{4pr}\Leftrightarrow 8pr\leq 3p^2-3r\Leftrightarrow 24pr\leq 9p^2-9r$

Theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ thì $p^2=pq\geq 9r, 3pr\leq q^2=p^2$ nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 01-10-2016 - 21:08


#6 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 01-10-2016 - 21:11

bài 3 bằng quy nạp ta có thể cm S(n) chính là dãy fibonaci (sử dụng ct $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 01-10-2016 - 21:18

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#7 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 02-10-2016 - 23:43

bạn có thể làm chi tiết được ko ạ

thì bạn xét $n=2k$ và $n=2k+1$ riêng rồi cộng S(n)+S(n+1) viết cụ thể ra sẽ thu gọn được thành S(n+2) 

Chẳng hạn: $S(2k)=C_{2k+1}^{0}+C_{2k}^{1}+C_{2k-1}^{2}+...+C_{k+1}^{k}; S(2k+1)=C_{2k+2}^{0}+C_{2k+1}^{1}+C_{2k}^{2}+C_{2k-1}^{3}+...+C_{k+2}^{k}+C_{k+1}^{k+1};S(2k+2)=C_{2k+3}^{0}+C_{2k+2}^{1}+...+C_{k+3}^{k}+C_{k+2}^{k+1}=1+(C_{2k+1}^{1}+C_{2k+1}^{0})+...=S(2k+1)+S(2k)$


                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#8 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-10-2016 - 15:06

 

Đề vòng 2

 

Câu 1. Cho $x,y,z>0$ thỏa $\sum x =\sum \frac{1}{x}$
Chứng minh rằng :

$$\sum \frac{1}{(2xy+yz+zx)^2} \le \frac{3}{16x^2y^2z^2}$$

 

 

 

 

Đổi biến : $(x;y;z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right )$

 

$\Rightarrow a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}$

 

$\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3$

 

Khi đó:BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$$\sum \frac{(abc)^2}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3(abc)^2}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

$$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \frac{3}{16}$$

 

Mặt khác:

 

$$\sum \frac{1}{\left [ (a+c)+(b+c) \right ]^2}\leq \sum \frac{1}{4(a+c)(b+c)}$$

 

Ta cần CM:

 

$$\frac{1}{(a+b)(b+c)}+\frac{1}{(b+c)(c+a)}+\frac{1}{(a+c)(a+b)}\leq \frac{3}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow 3\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 8(a+b+c)(*)$$

 

Ta có BĐT quen thuộc : $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(a+c)\geq 8(a+b+c)$

 

Do đó BĐT (*) luôn đúng $\Rightarrow \boxed{\textrm{ĐPCM}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 04-10-2016 - 15:10


#9 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 01-09-2018 - 18:35

Bài 2: CMTT như bài làm của mình ở đây: https://diendantoanh...-năm-2017-2018/

Thay $n=2$ vào dễ thấy $P(x)=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 01-09-2018 - 18:36





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh