Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\sqrt[3]{a(3b+5c)}+\sqrt[3]{b(3c+5a)}+\sqrt[3]{c(3a+5b)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Câu 1: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm max $P=\sqrt[3]{a(3b+5c)}+\sqrt[3]{b(3c+5a)}+\sqrt[3]{c(3a+5b)}$

Câu 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$

Tìm min $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Câu 3: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm max $P=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}$

Câu 4: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$

Tìm min $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Câu 5: Cho $a,b,c> 0$

Tìm min $S=\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}$

Câu 6: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm min $\sqrt{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{5b^{2}+(c+a)^{2}}+\sqrt{5c^{2}+(a+b)^{2}}$

Câu 7: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm min $P=\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}$

Câu 8: Cho $a,b,c> 0$

CMR $\frac{ab}{a+2b}+\frac{bc}{b+2c}+\frac{ca}{c+2a}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Câu 9: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

CMR $abc\leq \frac{1}{8}$

Câu 10: Tình min và max của:

a) $\frac{x+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}}{1+\sqrt{1-x}}$

b) $\left | 5-2\left | 3-\frac{\left | x^{2}+4x+1 \right |}{x^{2}+1} \right | \right |$

c) $\sqrt[4]{8+x}+\sqrt[4]{8-x}$

Câu 11: Tìm min và max của:

a) $x^{2}+\sqrt{4-x^{2}}$

b) $\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+\sqrt{1+\sqrt{1-x}}$

Mọi người giải nhanh hộ mình nhé mình cảm ơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 05-10-2016 - 15:38

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#2
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Câu 3

Ta có P=$\sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}=\sum \frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})=\frac{3}{2}$ (Do ab+bc+ca=1)

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#3
vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

bài 3 thay 1=ab+bc+ca vào mẫu rồi nhóm sau đó dùng am gm

bài 8 để ý$\frac{1}{a+2b}$ $\leq$ $\frac{1}{9}$($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}$) $\Rightarrow$ ....

bài 9 có $\frac{1}{1+a}$ = $\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$ $\geq$ 2$\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$ tương tự ....

 nhìn lướt qua mới chỉ làm được 3 bài :lol:



#4
vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

bài 6 dùng bđt minkopki 



#5
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Câu 9

Ta có

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự

$\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 BĐT trên vế theo vế , ta có

$\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{8abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/2


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#6
vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

bài 4 a+b+c+$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq$ a+b+c+$\frac{9}{a+b+c}$ = a+b+c+$\frac{9}{4(a+b+c)}$ +$\frac{27}{4(a+b+c)}$

          $\geq$ 3+$\frac{27}{4*\frac{3}{2}}$  =....



#7
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Câu 1

ta có 

4P=$\sum \sqrt[3]{8a(3b+5c)8}\leq\sum \frac{8a+3b+5c+8}{3}=\frac{16(a+b+c)+24}{3}= 24$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.Min P=6


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#8
vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

câu 2

3P=(a3+b3+1)+(b3+c3+1)+ (c3+a3+1)+(a3+b3+c3)-3  dùng am gm...



#9
NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 344 Bài viết

Bài 6:Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:

          $\sum \sqrt{5a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( \sqrt{5}a+\sqrt{5}b+\sqrt{5}c \right )^{2}+\left ( 2\left ( a+b+c \right ) \right )^{2}}\geq \sqrt{5+4}=3$

           Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

Bài 5:Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có:

         $S=\sum \frac{a}{a+2b+3c}\geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+3ac}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a^{2}+5\sum ab}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}+3\sum ab}$

            $\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}$ 


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#10
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

5.

Ta có

S=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+3ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+3ab+3bc+3ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{2}$  .Áp dụng BĐT BCS và bổ đề $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#11
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

7) Dễ thấy $\left ( a;b;c \right );\left ( \frac{1}{(b+c)^2};\frac{1}{(c+a)^2};\frac{1}{(a+b)^2} \right )$ là 2 dãy đơn điệu tăng

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có : 

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\sum \frac{1}{(b+c)^2})\geq \frac{1}{3}\frac{(\frac{9}{2(a+b+c)})^2}{3}=\frac{9}{4}$


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#12
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Bài 6:Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:

          $\sum \sqrt{5a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \sqrt{\left ( \sqrt{5}a+\sqrt{5}b+\sqrt{5}c \right )^{2}+\left ( 2\left ( a+b+c \right ) \right )^{2}}\geq \sqrt{5+4}=3$

           Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

Bài 5:Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có:

         $S=\sum \frac{a}{a+2b+3c}\geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+3ac}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a^{2}+5\sum ab}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}+3\sum ab}$

            $\Rightarrow S\geq \frac{1}{2}$ 

 

 

5.

Ta có

S=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+3ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+3ab+3bc+3ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}}=\frac{1}{2}$  .Áp dụng BĐT BCS và bổ đề $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

 Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

 

 

7) Dễ thấy $\left ( a;b;c \right );\left ( \frac{1}{(b+c)^2};\frac{1}{(c+a)^2};\frac{1}{(a+b)^2} \right )$ là 2 dãy đơn điệu tăng

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có : 

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(\sum \frac{1}{(b+c)^2})\geq \frac{1}{3}\frac{(\frac{9}{2(a+b+c)})^2}{3}=\frac{9}{4}$

Các bạn có thể chứng minh chỉ dùng AM-GM được không


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#13
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

7.

$\frac{a}{(b+c)^2}+$\frac{9a}{4}$\geq \frac{3a}{b+c}$

tương tự cộng lại . sau đó ta có bđt nesbit . => đpcm

p/s: sr k để ý dấu bằng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Hieu Hoang: 03-10-2016 - 11:54

 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#14
toithichhoctoan

toithichhoctoan

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

 Ta có: $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{1}{a}+4a+\frac{1}{b}+4b+\frac{1}{c}+4c-3\left ( a+b+c \right )\geq 4+4+4-\frac{9}{2}= \frac{15}{2}$

dấu"=" xảy ra khi  $ a=b=c=\frac{1}{2}$


gặp được nhiều người tài giỏi là ước mơ của tôi 


#15
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

4) cách dùng AM-GM:

$4a+4b+4c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3(a+b+c)\geq 6\sqrt[6]{4^{3}}-3.\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$


 


#16
le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

7.

$\frac{a}{(b+c)^2}+a\geq \frac{2a}{b+c}$

tương tự cộng lại . sau đó ta có bđt nesbit . => đpcm

Làm sai nhé, Nesbit xảy ra khi a=b=c nhưng BĐT đầu lại không thỏa mãn  :(  :(

P/s:Nên đánh giá $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9}{4}a\geq 3\frac{a}{b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 02-10-2016 - 20:47


#17
ohnomylove

ohnomylove

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Câu 1: cân bằng hệ số rồi AM-GM trong căn

Câu 2:$\sum (a^{3}+b^{3}+1)+\sum (a^{3}+b^{3}+c^{3})$ rồi AM-GM

Câu 3:có ng làm r

Câu 4:có ng làm r

Câu5: nhân a,b,c vào 3 cái rồi Cauchy Schwarz

Câu 6:$[5a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}](m^{2}+n^{2})$ dùng cauchy schwarz cân bằng sao cho dấu bằng xảy ra

C7:$+\frac{27(b+c)a}{8}+\frac{27(b+c)a}{8}$rồi AM GM

Nếu muốn làm thêm sang 10 lý 1 nhé ^ ^



#18
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

Câu 1: cân bằng hệ số rồi AM-GM trong căn

Câu 2:$\sum (a^{3}+b^{3}+1)+\sum (a^{3}+b^{3}+c^{3})$ rồi AM-GM

Câu 3:có ng làm r

Câu 4:có ng làm r

Câu5: nhân a,b,c vào 3 cái rồi Cauchy Schwarz

Câu 6:$[5a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}](m^{2}+n^{2})$ dùng cauchy schwarz cân bằng sao cho dấu bằng xảy ra

C7:$+\frac{27(b+c)a}{8}+\frac{27(b+c)a}{8}$rồi AM GM

Nếu muốn làm thêm sang 10 lý 1 nhé ^ ^

Bài nào có người làm rồi thì viết lại làm gì nữa, bài nào có người sai người sửa chứ, chẳng khác nào spam bài viết khi nói rằng bài này có người làm rồi


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#19
DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết

5.

.Áp dụng BĐT BCS và bổ đề $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

BCS là cái gì vậy bạn có phải ..... không :closedeyes: , nếu không cho mình xin lỗi nhé :luoi:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 02-10-2016 - 21:54

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#20
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

BCS là cái gì vậy bạn có phải ..... không :closedeyes: , nếu không cho mình xin lỗi nhé :luoi:

Bunhiacopxki

Lối viết tắt nguy hiểm của ông thầy mình học đó


Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh