Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{4}{a+b} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc = 1$.Chứng minh rằng:

        $a^4 + b^4 +b^4 + a + b + c + \frac{2a}{b^2+c^2} + \frac{2b}{a^2+c^2} + \frac{2c}{a^2+b^2} \geq 9$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

        $\sqrt{5a^2+4bc} + \sqrt{5b^2+4ca} + \sqrt{5c^2+4ab} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} + 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{a^3}{1+9b^2ca}+\frac{b^3}{1+9c^2ab}+\frac{c^3}{1+9a^2bc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$

Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng: 

        $(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$

Bài 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$

     Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )+c\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \right )=6$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$

Bài 8: Cho 3 sô thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z \leq \frac{3}{2}$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}+\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}$

Bài 9: Cho các số thực dương thoả mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.

     Tìm GTNN của $P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.

Mọi người giúp em với ạ. Em xin cảm ơn!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chung0103: 02-10-2016 - 21:15


#2
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

bài 3 ở đây 

http://diendantoanho...-9/#entry656142


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#3
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

1.

$2\sum a^4+2\sum a+\sum \frac{4a}{b^2+c^2}\geq 18$

$VT\geq \sum \frac{(a^2+b^2)^2}{2}+\sum \frac{4c}{a^2+b^2}+6\geq \sum 2\sqrt{2(a^2+b^2)c}+6\geq 3.4+6= 18$


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#4
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

4.

$\sum \frac{a^3}{1+9b^2ca}=\sum \frac{a^4}{a+9a^2b^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a+9abc}\geq \frac{(a+b+c)^4}{9\sum a+81abc}\geq \frac{(a+b+c)^3}{18}\Leftrightarrow (a+b+c)\geq 9abc\Leftrightarrow 1\geq 27a^2b^2c^2$ ( luôn đúng với cô si)


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#5
Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

bài 8

$P=\sum \frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{}x}$

Áp dụng BĐT AM-GM

$\frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{x}} + z+\frac{1}{x}\geq 2(y+\frac{1}{x})$

ta có các Bđt tương tự, công lại ta đc 

$P\geq \sum x +\sum \frac{1}{x}= 4\sum x + \sum \frac{1}{x}- 3\sum x$

đến đây thì đơn giản r


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Nam 11: 02-10-2016 - 19:10


#6
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

9. 

http://diendantoanho...ca2a2geq-sqrt5/


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#7
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

câu 5: bạn xem lại đề nhé 

 Bài toán 6 https://julielltv.wo...hung-minh-bdt/ 



#8
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

câu 5: bạn xem lại đề nhé 

 Bài toán 6 https://julielltv.wo...hung-minh-bdt/ 

Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng: 

        $(*a^2+b^2+c^2*)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$

   Chỗ 2 dấu sao nha


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chung0103: 02-10-2016 - 21:21


#9
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

mọi người giúp e mấy câu còn lại đi ạ. E xin cảm ơn



#10
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc = 1$.Chứng minh rằng:

        $a^4 + b^4 +b^4 + a + b + c + \frac{2a}{b^2+c^2} + \frac{2b}{a^2+c^2} + \frac{2c}{a^2+b^2} \geq 9$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

        $\sqrt{5a^2+4bc} + \sqrt{5b^2+4ca} + \sqrt{5c^2+4ab} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} + 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{a^3}{1+9b^2ca}+\frac{b^3}{1+9c^2ab}+\frac{c^3}{1+9a^2bc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$

Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng: 

        $(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$

Bài 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$

     Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )+c\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \right )=6$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$

Bài 8: Cho 3 sô thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z \leq \frac{3}{2}$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}+\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}$

Bài 9: Cho các số thực dương thoả mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.

     Tìm GTNN của $P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.

Mọi người giúp em với ạ. Em xin cảm ơn!!!

Bài 2 đã được anh dogsteven Giari . Mình xin trích lại như sau : 

Bất đẳng thức có tích rời rạc, việc đầu tiên của ta là gom lại.

Bất đẳng thức trên tương đương với: $\sum \dfrac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}+2\sum a^2\sqrt{bc}}$

Tiếp theo là "phá căn". Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\left[5(a^4+b^4+c^4)+4abc(a+b+c)\right]}$

$2\sum a^2\sqrt{bc}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}(ab+bc+ca)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $5(a^2+b^2+c^2)\geqslant \sqrt{15(a^4+b^4+c^4)+12(ab+bc+ca)}+2(ab+bc+ca)$

Đến đây dễ rồi.


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#11
loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

4) Bổ đề: $\frac{x^{3}}{a}+\frac{y^{3}}{b}+\frac{z^{3}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{3}}{3(a+b+c)}$

$3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ac)^{2}$

$\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ca}\geq \sum \frac{(a+b+c)^{3}}{9+27abc(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{9+9(ab+bc+ac)^{2}}=\frac{(a+b+c)^{3}}{18}$ (đpcm)


 


#12
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Bài 6 $2ab+6bc+2ac=7abc$ <=> $\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\Leftrightarrow 6x+2y+2z=7$

C=$\frac{4}{y+2x}+\frac{9}{z+4x}+\frac{4}{y+z}\geq \frac{\left (2+3+2 \right )^{2}}{6x+2y+2z}=7$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 07-10-2016 - 20:43


#13
mathsomega

mathsomega

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
Bài 9:
Áp dụng bđt Mincopski cho vế trái:
VT=sigma căn(2a^2+ab+2b^2)=sigma căn(2(a+b/4)^2+15b^2/8)>= căn(2.(5(a+b+c)/4)^2+15(a+b+c)^2/8)=căn(5(a+b+c)^2)>=căn(5.(căn(a)+căn(b)+căn(c))^4/9)(bđt Cauchy-Schwarz)
=căn(5)/3
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1/9




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh