Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $A$ và $B$ giao khác rỗng

- - - - -
Bắt đầu bởi bangbang1412, 03-10-2016 - 07:44
compact

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
bangbang1412
Đã gửi 03-10-2016 - 07:44

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1668 Bài viết
Cho $A$ và $B$ lần lượt là hai tập đóng và compact trong không gian metric $(K,d)$ . Giả sử $d(A,B)=0$. Chứng minh $A$ giao $B$ khác rỗng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-10-2016 - 12:11

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$

#2
vutuanhien
Đã gửi 03-10-2016 - 13:05

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cho $A$ và $B$ lần lượt là hai tập đóng và compact trong không gian metric $(K,d)$ . Giả sử $d(A,B)=0$. Chứng minh $A$ giao $B$ khác rỗng .

Do $d(A, B)=0$ nên tồn tại dãy {$a_n$}$\in A$, {$b_n$}$\in B$ sao cho $\lim_{n\rightarrow \infty }d(a_n, b_n)=0$. Do $B$ compact nên tồn tại một dãy con {$b_{n_k}$} của {$b_n$} hội tụ tới $b$, với $b\in B$. Ta có: $d(b, a_{n_k})\leq d(b, b_{n_k})+d(b_{n_k}, a_{n_k})$, suy ra dãy {$a_{n_k}$} hội tụ tới $b$ mà $A$ đóng nên $b\in A$. Vậy $b\in A\cap B$, tức là $A$ giao $B$ khác rỗng, ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 03-10-2016 - 13:06

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck

#3
bangbang1412
Đã gửi 03-10-2016 - 18:34

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1668 Bài viết

Do $d(A, B)=0$ nên tồn tại dãy {$a_n$}$\in A$, {$b_n$}$\in B$ sao cho $\lim_{n\rightarrow \infty }d(a_n, b_n)=0$. Do $B$ compact nên tồn tại một dãy con {$b_{n_k}$} của {$b_n$} hội tụ tới $b$, với $b\in B$. Ta có: $d(b, a_{n_k})\leq d(b, b_{n_k})+d(b_{n_k}, a_{n_k})$, suy ra dãy {$a_{n_k}$} hội tụ tới $b$ mà $A$ đóng nên $b\in A$. Vậy $b\in A\cap B$, tức là $A$ giao $B$ khác rỗng, ta có đpcm.

Thế này suy ra tập $B$ đóng cũng đúng .


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$

#4
vutuanhien
Đã gửi 03-10-2016 - 23:04

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Thế này suy ra tập $B$ đóng cũng đúng .

Nếu bỏ điều kiện $B$ compact đi thì không thể đúng nữa. Chẳng hạn trong không gian $\mathbb{R}^2$ thì xét $A=\left \{ \left ( x, 0 \right )|x\in \mathbb{R} \right \}$ và $B=\left \{ \left ( x, \dfrac{1}{x} \right )|x\in \mathbb{R}, x\neq 0 \right \}$


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck

#5
bangbang1412
Đã gửi 03-10-2016 - 23:17

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1668 Bài viết
Đúng rồi em quên cái đoạn dãy kia có dãy con hội tụ

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$

Trở lại Tôpô



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: compact

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Đại cương
  3. → Tôpô