Tìm các số số tự nhiên $a,b$ sao cho $a^b=b^a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 04-10-2016 - 10:16
Tìm các số số tự nhiên $a,b$ sao cho $a^b=b^a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 04-10-2016 - 10:16
a,b có thuộc tập hợp số nguyên hay tự nhiên k vậy, nếu là toán 9 thì phải thuộc N hoặc Z chứ nhỉ?
a,b có thuộc tập hợp số nguyên hay tự nhiên k vậy, nếu là toán 9 thì phải thuộc N hoặc Z chứ nhỉ?
Thuộc N bạn giải giúp với
Tìm các số số tự nhiên $a,b$ sao cho $a^b=b^a$
Với $a=b\in\mathbb{N}$ thì bài toán luôn đúng. Xét $a\neq b$. Giả sử $a>b$.
Đặt $a=p_1^{m_1}p_2^{m_2}....p_k^{m_k}$ với $p_i\in\mathbb{P}$ và $m_i\in\mathbb{N}$. Từ đó kéo theo $b=p_1^{n_1}p_2^{n_2}....p_k^{n_k}$
Vì $a^b=b^a$ nên $\frac{a}{b}=\frac{m_i}{n_i}=\prod_{1}^{k}p_i^{m_i-n_i}>1$
Giả sử $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $a$ và $b$, hiển nhiên $\frac{m}{n}\geq p^{m-n}\Rightarrow m\geq np^{m-n}$
$\Rightarrow m-n\geq n(p^{m-n}-1)\geq p^{m-n}-1$ $(\star)$
Ta sẽ CM với $x\geq 1\in\mathbb{N}$, $p\in\mathbb{N}^*$ thì $p^x\geq (p-1)x+1$ $(1)$ bằng quy nạp. Giả sử điều này đúng với $x=t$, tức là $p^t\geq (p-1)t+1$, khi đó $p^{t+1}=p.p^t\geq p(p-1)t+p=(p-1)(t+1)+1+t(p-1)^2\geq (p-1)(t+1)+1$, tức là điều này đúng với cả $x=t+1$, do đó $(1)$ được CM. Dấu $=$ xảy ra khi $x=1$
Quay trở lại bài toán, với $m-n\geq 1$, ta có $p^{m-n}\geq (p-1)(m-n)+1$. Kết hợp với $(\star)$ suy ra $p=2$ thỏa mãn kéo theo. Dấu $=$ xảy ra khi $m-n=1$. Hơn nữa ta cũng thu được $\frac{m}{n}=2$ nên $m=2,n=1$, hay $(a,b)=(4,2)$
Vậy $a=b$ hoặc $(a,b)=(4,2)$ và các hoán vị
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh