Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenquangtruonghktcute]

Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức

$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

[le truong son]

 

Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức

$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

 

$x+y+z=xyz=>\sum \frac{1}{xy}=1$

Ta có: $\sum \frac{y-2}{x^2}= \sum (y-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}\geq \sum (y-1)\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}=\sum \frac{1}{x}-2\sum \frac{1}{xy}=\sum \frac{1}{x}-2$

Mặt khác : $(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3(\sum \frac{1}{xy})=3=>\sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

=>$\sum \frac{1}{x}-2\geq \sqrt{3}-2$

Vậy Min=$\sqrt{3}-2<=>x=y=z=\sqrt{3}$

=>đpcm

[KietLW9]

 

Cho x>1 ; y>1 ; >1 thỏa mãn điều kiện $x+y+z=xyz$ Tìm GTNN của biểu thức

$\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

 

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$