Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÊN TRE


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Trần Văn Dũng

Trần Văn Dũng

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 07-10-2016 - 10:20

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

a)     Cho hàm số $y = 2{x^4} - {m^2}{x^2} + {m^2} + 2016\,\,\,\,\,(C)$  ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho bốn điềm O,A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi ( Vối O là gốc tọa độ).

b)     Giải hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$

Câu 2:

a) Cho khai triển ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ . Xác định hệ số ${a_6}$ biết rằng ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ 

b) Cho phương trình:${x^5} - \frac{1}{2}{x^4} - 5{x^3} + {x^2} + 4x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

            b1) Chứng minh rằng phương trình (*) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

            b2) Với ${x_i}\,\,(i = \overline {1,5} )$ là nghiệm của phương trình (*), tính tổng S biết:                $S = \sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i} + 1}}{{2x_{_i}^5 - x_i^4 - 2}}} $

Câu 3: Cho đường tròn $({O_1}),({O_2})$  tiếp xúc ngoài tại điểm T. Một đường thẳng cắt đường tròn $({O_1})$  tại hai điểm A,B phân biệt và tiếp xúc với $({O_2})$   tại  X. đường thẳng XT cắt $({O_1})$  Tại S ( S khác T và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B. Cho CY là tiếp tuyến của $({O_2})$   tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Cho I là giao điển của các đường thẳng XY và SC. Chứng minh rằng:

a) C,T,Y và I cùng thuộc một đường tròn.

b) SA= SI

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 13-10-2016 - 21:18


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 07-10-2016 - 12:36

 

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .

 

$T=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(2^p+1)=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(\sum_{k=0}^p C_p^k+1)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^kC_{p+k}^k+1+C_{2p}^p-(\sum_{k=0}^p C_p^k+3)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1)+(C_{2p}^p-2)$ 
Đặt $A=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1),B=C_{2p}^p-2$  
Ta có bổ đề quen thuộc sau đây 
$C_p^k \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố và $1 \le k \le p-1$ 
Áp dụng bổ đề ta có $p|A$. Cộng thêm việc xét $C_{p+k}^k-1=\frac{(p+1)...(p+k)-k!}{k!}$  
Ta có $(p+1)(p+2)...(p+k)-k! \equiv k!-k! \equiv 0 \pmod{p}$ cộng với việc $k$ số nguyên liên tiếp thì chia hết cho $k$ nên ta suy ra $p|C_{p+k}^k-1$ (chú ý thêm nữa là $(p,k!)=1$ nên ta có $p^2|A$  (1) 
Ta chứng minh thêm nữa là $p^2|B$ 
Thật vậy xét $(1+x)^{2p}=(1+x)^p.(1+x)^p \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{2p} C_{2p}^k.x^k=(\sum_{i=0}^p C_p^i.x^i)^2$ 
Đồng nhất hệ số của $x^p$ hai vế ta có : 
$C_{2p}^p=2+\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \Rightarrow C_{2p}^p-2=\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \vdots p^2$ 
Vậy $p^2|B$ (2)  
Từ (1),(2) ta có điều phải chứng minh 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 07-10-2016 - 19:22


#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 07-10-2016 - 17:07

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

 

 

 

AM-GM:

 

$a+4b\geq 4\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+4b}{4}\geq \sqrt{ab}$

 

$a+4b+16c\geq 12\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{a+4b+16c}{12}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{1008}{t^2}-\frac{2016}{t}(0<t=\sqrt{a+b+c})$

 

Khảo sát hàm F(t) để tìm min



#4 san1201

san1201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Đã gửi 08-10-2016 - 21:48

Lời giải câu hình

 

 

 

Untitled.png

 

 



#5 anh3798571

anh3798571

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 09-10-2016 - 17:20

 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016-2017

Môn : TOÁN

Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề)

 

 

 

Câu 1 :

a)     Cho hàm số $y = 2{x^4} - {m^2}{x^2} + {m^2} + 2016\,\,\,\,\,(C)$  ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho bốn điềm O,A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi ( Vối O là gốc tọa độ).

b)     Giải hệ phương trình :$ \left\{ \begin{array}{l}

{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\
\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22
\end{array} \right.(x;y \in ) $

Câu 2:

a) Cho khai triển ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ . Xác định hệ số ${a_6}$ biết rằng ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ 

b) Cho phương trình:${x^5} - \frac{1}{2}{x^4} - 5{x^3} + {x^2} + 4x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

            b1) Chứng minh rằng phương trình (*) có đúng 5 nghiệm phân biệt.

            b2) Với ${x_i}\,\,(i = \overline {1,5} )$ là nghiệm của phương trình (*), tính tổng S biết:                $S = \sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i} + 1}}{{2x_{_i}^5 - x_i^4 - 2}}} $

Câu 3: Cho đường tròn $({O_1}),({O_2})$  tiếp xúc ngoài tại điểm T. Một đường thẳng cắt đường tròn $({O_1})$  tại hai điểm A,B phân biệt và tiếp xúc với $({O_2})$   tại  X. đường thẳng XT cắt $({O_1})$  Tại S ( S khác T và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B. Cho CY là tiếp tuyến của $({O_2})$   tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Cho I là giao điển của các đường thẳng XY và SC. Chứng minh rằng:

a) C,T,Y và I cùng thuộc một đường tròn.

b) SA= SI

 

Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .

 

bạn sửa lại câu hệ đc không, nó bị lỗi nên k xem được ạ.



#6 anh3798571

anh3798571

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 09-10-2016 - 17:22

đóng góp 1 bài nhé:

 cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk: x+y=4. Tìm giá trị min của

 

S= $(1+x+\frac{1}{x})^{3} +(1+y+\frac{1}{y})^{3}$



#7 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-10-2016 - 18:07

bạn sửa lại câu hệ đc không, nó bị lỗi nên k xem được ạ.

 

 

theo đề bài của bạn ấy thì mình nghĩ câu hệ là như thế này

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#8 anh3798571

anh3798571

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 09-10-2016 - 21:56

theo đề bài của bạn ấy thì mình nghĩ câu hệ là như thế này

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$

bạn làm hộ mình câu tìm min mình đăng đc k?



#9 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

Đã gửi 09-10-2016 - 22:29

đóng góp 1 bài nhé:
cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk: x+y=4. Tìm giá trị min của

S= $(1+x+\frac{1}{x})^{3} +(1+y+\frac{1}{y})^{3}$


sử dụng BĐT $4(a^{3}+b^{3})$>=$(a+b)^{3}$ rồi dùng Cauchy-Schwart

$\sum =\prod$


#10 lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Đã gửi 10-10-2016 - 22:04

$T=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(2^p+1)=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(\sum_{k=0}^p C_p^k+1)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^kC_{p+k}^k+1+C_{2p}^p-(\sum_{k=0}^p C_p^k+3)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1)+(C_{2p}^p-2)$ 
Đặt $A=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1),B=C_{2p}^p-2$  
Ta có bổ đề quen thuộc sau đây 
$C_p^k \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố và $1 \le k \le p-1$ 
Áp dụng bổ đề ta có $p|A$. Cộng thêm việc xét $C_{p+k}^k-1=\frac{(p+1)...(p+k)-k!}{k!}$  
Ta có $(p+1)(p+2)...(p+k)-k! \equiv k!-k! \equiv 0 \pmod{p}$ cộng với việc $k$ số nguyên liên tiếp thì chia hết cho $k$ nên ta suy ra $p|C_{p+k}^k-1$ (chú ý thêm nữa là $(p,k!)=1$ nên ta có $p^2|A$  (1) 
Ta chứng minh thêm nữa là $p^2|B$ 
Thật vậy xét $(1+x)^{2p}=(1+x)^p.(1+x)^p \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{2p} C_{2p}^k.x^k=(\sum_{i=0}^p C_p^i.x^i)^2$ 
Đồng nhất hệ số của $x^p$ hai vế ta có : 
$C_{2p}^p=2+\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \Rightarrow C_{2p}^p-2=\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \vdots p^2$ 
Vậy $p^2|B$ (2)  
Từ (1),(2) ta có điều phải chứng minh 

Khai triển sai rồi bạn.



#11 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 10-10-2016 - 22:20

$T=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(2^p+1)=\sum_{k=0}^p C_p^k.C_{p+k}^k-(\sum_{k=0}^p C_p^k+1)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^kC_{p+k}^k+1+C_{2p}^p-(\sum_{k=0}^p C_p^k+3)=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1)+(C_{2p}^p-2)$ 
Đặt $A=\sum_{k=1}^{p-1}C_p^k(C_{p+k}^k-1),B=C_{2p}^p-2$  
Ta có bổ đề quen thuộc sau đây 
$C_p^k \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố và $1 \le k \le p-1$ 
Áp dụng bổ đề ta có $p|A$. Cộng thêm việc xét $C_{p+k}^k-1=\frac{(p+1)...(p+k)-k!}{k!}$  
Ta có $(p+1)(p+2)...(p+k)-k! \equiv k!-k! \equiv 0 \pmod{p}$ cộng với việc $k$ số nguyên liên tiếp thì chia hết cho $k$ nên ta suy ra $p|C_{p+k}^k-1$ (chú ý thêm nữa là $(p,k!)=1$ nên ta có $p^2|A$  (1) 
Ta chứng minh thêm nữa là $p^2|B$ 
Thật vậy xét $(1+x)^{2p}=(1+x)^p.(1+x)^p \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{2p} C_{2p}^k.x^k=(\sum_{i=0}^p C_p^i.x^i)^2$ 
Đồng nhất hệ số của $x^p$ hai vế ta có : 
$C_{2p}^p=2+\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \Rightarrow C_{2p}^p-2=\sum_{k=0}^{p-1}.(C_p^k)^2.C_p^k \vdots p^2$ 
Vậy $p^2|B$ (2)  
Từ (1),(2) ta có điều phải chứng minh 

Ngoài ra $v_p(T)=2$ với mọi $p \ge 5$ 



#12 anh3798571

anh3798571

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đã gửi 11-10-2016 - 12:27

ai hướng dẫn mh C1 ý a với  @};-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh3798571: 11-10-2016 - 12:27


#13 phu224455

phu224455

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 28-10-2016 - 20:25

AM-GM:

 

$a+4b\geq 4\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+4b}{4}\geq \sqrt{ab}$

 

$a+4b+16c\geq 12\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{a+4b+16c}{12}\geq \sqrt[3]{abc}$

 

$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{1008}{t^2}-\frac{2016}{t}(0<t=\sqrt{a+b+c})$

 

Khảo sát hàm F(t) để tìm min

tại sao lại am-gm như thế ? bạn giải thích cho mình dc không? cảm ơn !



#14 tranphamminhnhut2403

tranphamminhnhut2403

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh

Đã gửi 10-11-2016 - 21:08

Câu hpt 

Hình gửi kèm

  • HSG Bến Tren 16-17.png





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh