Chủ đề này có 5 trả lời

[gianglqd]

Tìm nguyên hàm sau:

$\int \frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}.dx$

[Viet Hoang 99]

Tìm nguyên hàm sau:

$\int \frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}.dx$

Đặt $\sqrt[3]{x^2+1}=t\Rightarrow x^2+1=t^3\Rightarrow 2xdx=3t^2dt$

$I=\int \dfrac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}.dx=\int \dfrac{3t^3dt}{2t^3-2}=\int \left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2t^3-2}  \right )dt=\int \left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2(t-1)}-\dfrac{t+2}{2(t^2+t+1)}  \right )dt$

$=\dfrac{3t}{2}+\dfrac{1}{2}\ln |t-1|-\int \dfrac{(t+2)dt}{2\left (t+\dfrac{1}{2}  \right )^2+\dfrac{3}{2}}$

Đặt $t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan a\Rightarrow dt=\dfrac{\sqrt{3}da}{2\cos^2 a}$

 

$\Rightarrow \int \dfrac{(t+2)dt}{2\left (t+\dfrac{1}{2}  \right )^2+\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \dfrac{\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan a+\dfrac{3}{2}  \right )da}{\dfrac{3}{2}\cos^2 a(\tan^2 t+1)}=\int \left (\dfrac{1}{2}\tan a+\dfrac{\sqrt{3}}{2}  \right )da=\int \dfrac{-d(\cos a)}{2\cos a}+\dfrac{\sqrt{3}a}{2}=-\dfrac{1}{2}\ln |\cos a|+\dfrac{\sqrt{3}a}{2}+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-10-2016 - 20:42

[gianglqd]

Đặt $\sqrt[3]{x^2+1}=t\Rightarrow x^2+1=t^3\Rightarrow 2xdx=3t^2dt$

$I=\int \dfrac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}.dx=\int \dfrac{3t^3dt}{2t^3-2}=\int \left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2t^3-2}  \right )dt=\int \left (\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2(t-1)}-\dfrac{t+2}{2(t^2+t+1)}  \right )dt$

$=\dfrac{3t}{2}+\dfrac{1}{2}\ln |t-1|-\int \dfrac{(t+2)dt}{2\left (t+\dfrac{1}{2}  \right )^2+\dfrac{3}{2}}$

Đặt $t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan a\Rightarrow dt=\dfrac{da}{\cos^2 a}$

 

$\Rightarrow \int \dfrac{(t+2)dt}{2\left (t+\dfrac{1}{2}  \right )^2+\dfrac{3}{2}}=\int \dfrac{\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan a+\dfrac{3}{2}  \right )da}{\dfrac{3}{2}\cos^2 a(\tan^2 t+1)}=\int \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\tan a+1  \right )da=\int \dfrac{-d(\cos a)}{\sqrt{3}\cos a}+a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ln |\cos a|+a+C$

cái khúc tách và đặt ẩn anh nói giúp em rõ hơn vì sao lại nghĩ ra như vậy ak

[Viet Hoang 99]

cái khúc tách và đặt ẩn anh nói giúp em rõ hơn vì sao lại nghĩ ra như vậy ak

Tách $\int (a+b)=\int a+\int b$  

$\left\{\begin{matrix}\int \dfrac{3}{2}=\dfrac{3t}{2}  &  & \\ \int \dfrac{1}{2(t-1)}=\dfrac{1}{2}\ln |t-1|  &  &  \end{matrix}\right.$

Đặt như vậy để mẫu có $\tan^2 a+1=\dfrac{1}{\cos^2 a}$

[gianglqd]

tha

 

Tách $\int (a+b)=\int a+\int b$  

$\left\{\begin{matrix}\int \dfrac{3}{2}=\dfrac{3t}{2}  &  & \\ \int \dfrac{1}{2(t-1)}=\dfrac{1}{2}\ln |t-1|  &  &  \end{matrix}\right.$

Đặt như vậy để mẫu có $\tan^2 a+1=\dfrac{1}{\cos^2 a}$

thank anh

[chanhquocnghiem]

 

Đặt $t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\tan a\Rightarrow dt=\dfrac{da}{\cos^2 a}$

Chỗ đó không đúng đâu !

 

Mà cũng không cần đặt thêm biến mới cho phức tạp :

$\int \frac{(t+2)dt}{2(t^2+t+1)}=\int \frac{\frac{1}{4}(2t+1)+\frac{3}{4}}{t^2+t+1}\ dt=\frac{1}{4}\ln(t^2+t+1)+\frac{3}{4}\int \frac{d\left ( t+\frac{1}{2} \right )}{\left ( t+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}}$

$=\frac{1}{4}\ln(t^2+t+1)+\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.$

 

 

@VietHoang99: Hi em fix rồi ạ, cách của anh hay hơn     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 10-10-2016 - 20:42