Chủ đề này có 4 trả lời

[DangHongPhuc]

Xác định hệ số không phụ thuộc vào $x$ trong khai triển

a) $\left ( x+\frac{1}{x^{4}} \right )^{20}$

b) $\left ( 2+x^{2}+\frac{1}{x^{3}} \right )^{20}$

c) $\left ( 1+x^{3}+x^{2}+\frac{1}{x} \right )^{16}$

[thang1308]

c, Xơi câu khó nhất vậy

Ta có: 

$(1+x^3+x^2+\frac{1}{x})^{16}=[(1+x^3)+(x^2+\frac{1}{x})]^{16}=\sum_{k=0}^{16}.\textrm{C}_{n}^{k}.(1+x^3)^{16-k}.(x^2+\frac{1}{x})^k=\sum_{k=0}^{16}.\sum_{i=0}^{16-k}.\sum_{m=0}^{k}.\textrm{C}_{n}^{k}.\textrm{C}_{16-k}^{i}.\textrm{C}_{k}^{m}.x^{3i}.x^{2k-2m}.\frac{1}{x^m} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k\leq 16\\ i+k\leq 16\\ m\leq k\\ 3i+2k-3m=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \begin{bmatrix} i=4,k=m=11\\ i=3,k=m=8\\ i=2,k=m=5\\ i=2,k=11,m=9\\ i=1,k=m=2\\ i=1,k=14,m=10\\ \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 08-10-2016 - 19:15

[DangHongPhuc]

 

c, Xơi câu khó nhất vậy

Ta có: 

$(1+x^3+x^2+\frac{1}{x})^{16}=[(1+x^3)+(x^2+\frac{1}{x})]^{16}=\sum_{k=0}^{16}.\textrm{C}_{n}^{k}.(1+x^3)^{16-k}.(x^2+\frac{1}{x})^k=\sum_{k=0}^{16}.\sum_{i=0}^{16-k}.\sum_{m=0}^{k}.\textrm{C}_{n}^{k}.\textrm{C}_{16-k}^{i}.\textrm{C}_{k}^{m}.x^{3i}.x^{2k-2m}.\frac{1}{x^m} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k\leq 16\\ i+k\leq 16\\ m\leq k\\ 3i+2k-3m=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \begin{bmatrix} i=4,k=m=11\\ i=3,k=m=8\\ i=2,k=m=5\\ i=2,k=11,m=9\\ i=1,k=m=2\\ i=1,k=14,m=10\\ \end{bmatrix}$

 

Bạn xem lại hộ mình nhé vì dễ thấy $0,0,0$ là 1 bộ nghiệm vì khi đó chỉ còn lại mỗi $2^{16}$ là số hạng hằng mà bạn lại ko có

Mình lại làm ra như thế này cơ

$\left ( 1+x^{3}+x^{2}+\frac{1}{x} \right )^{16}=\left ( 1+x^{3}+x^{2}+x^{-1}\right )^{16}=\sum_{k=0}^{16}C_{16}^{k}1^{16-k}\left ( x^{3}+x^{2}+x^{-1} \right )^{k}=\sum_{k=0}^{16}C_{16}^{k}\left ( x^{3}+x^{2}+x^{-1} \right )^{k}=\sum_{k=0}^{16}\sum_{m=0}^{k}C_{16}^{k}C_{k}^{m}\left (x^{3} \right )^{k}\left ( x^{2}+x^{-1} \right )^{k-m}=\sum_{k=0}^{16}\sum_{m=0}^{k}\sum_{i=0}^{m}C_{16}^{k}C_{k}^{m}C_{m}^{i}\left ( x^{3} \right )^{k}\left ( x^{2} \right )^{i}\left ( x^{-1} \right )^{k-m-i}$

$\Rightarrow 3m+2i-k+m+i=0\Rightarrow 4m+3i-k\left ( 16\leq k\leq m\leq i\leq 0 \right )$

Ta có bảng

$\begin{bmatrix} m &i &k \\ 0 &0 &0 \\ 1 &0 &4 \\ 1 &1 &7 \\ 2 &0 &8 \\ 2 &1 &11 \\ 2 &2 &14 \\ 3 &0 &12 \\ 3 &1 &15 \\ 4 &0 &16 \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 08-10-2016 - 20:29

[chanhquocnghiem]

Xác định hệ số không phụ thuộc vào $x$ trong khai triển

c) $\left ( 1+x^{3}+x^{2}+\frac{1}{x} \right )^{16}$

 

 

Mình lại làm ra như thế này cơ

$\left ( 1+x^{3}+x^{2}+\frac{1}{x} \right )^{16}=\left ( 1+x^{3}+x^{2}+x^{-1}\right )^{16}=\sum_{k=0}^{16}C_{16}^{k}1^{16-k}\left ( x^{3}+x^{2}+x^{-1} \right )^{k}=\sum_{k=0}^{16}C_{16}^{k}\left ( x^{3}+x^{2}+x^{-1} \right )^{k}=\sum_{k=0}^{16}\sum_{m=0}^{k}C_{16}^{k}C_{k}^{m}\left (x^{3} \right )^{k}\left ( x^{2}+x^{-1} \right )^{k-m}=\sum_{k=0}^{16}\sum_{m=0}^{k}\sum_{i=0}^{m}C_{16}^{k}C_{k}^{m}C_{m}^{i}\left ( x^{3} \right )^{k}\left ( x^{2} \right )^{i}\left ( x^{-1} \right )^{k-m-i}$

$\Rightarrow 3m+2i-k+m+i=0\Rightarrow 4m+3i-k\left ( 16\leq k\leq m\leq i\leq 0 \right )$

Ta có bảng

$\begin{bmatrix} m &i &k \\ 0 &0 &0 \\ 1 &0 &4 \\ 1 &1 &7 \\ 2 &0 &8 \\ 2 &1 &11 \\ 2 &2 &14 \\ 3 &0 &12 \\ 3 &1 &15 \\ 4 &0 &16 \end{bmatrix}$

Trước hết nói về cái đề : "Xác định hệ số không phụ thuộc vào $x$ trong khai triển" là sao ??? Nghĩ kỹ xem, khai triển xong thì mọi hệ số đều không phụ thuộc $x$ (vì đều là hằng số).Mà bài $c$ này khai triển xong có tới $65$ hệ số, chẳng lẽ phải xác định cả $65$ hệ số (yêu cầu hơi quá đáng).Vậy phải mạnh dạn sửa lại đề : "Xác định số hạng không phụ thuộc vào $x$ ..."

 

Bây giờ nói về lời giải của bạn : Biểu thức cuối cùng phải sửa lại là :

$\sum_{k=0}^{16}\sum_{m=0}^k\sum_{i=0}^{k-m}C_{16}^kC_k^mC_{k-m}^i(x^3)^m(x^2)^i(x^{-1})^{k-m-i}$

$\Rightarrow 4m+3i-k=0$ với $m\leqslant k\leqslant 16$ và $0\leqslant i\leqslant k-m$

Với các điều kiện đó thì bạn còn thiếu đến $8$ trường hợp :

$k$                        $m$                        $i$

$3$                        $0$                        $1$

$6$                        $0$                        $2$

$9$                        $0$                        $3$

$10$                      $1$                        $2$

$12$                      $0$                        $4$

$13$                      $1$                        $3$

$15$                      $0$                        $5$

$16$                      $1$                        $4$

 

Cộng với $9$ trường hợp trên kia là $17$ trường hợp.Vậy đáp số cuối cùng là bao nhiêu ?

Mình có cách đơn giản hơn rất nhiều :

$\left (1+x^3+x^2+\frac{1}{x} \right )^{16}=\left (1+x^3 \right )^{16}.\left (1+x^{-1} \right )^{16}$

$=\sum_{i,j=0}^{16}C_{16}^iC_{16}^jx^{3i}x^{-j}$

Số hạng không phụ thuộc vào $x \Rightarrow j=3i$ với $0\leqslant i,j\leqslant 16$

Số hạng đó là $\sum_{i=0}^5C_{16}^iC_{16}^{3i}=10758609.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-10-2016 - 11:58

[thang1308]

 

c, Xơi câu khó nhất vậy

Ta có: 

$(1+x^3+x^2+\frac{1}{x})^{16}=[(1+x^3)+(x^2+\frac{1}{x})]^{16}=\sum_{k=0}^{16}.\textrm{C}_{n}^{k}.(1+x^3)^{16-k}.(x^2+\frac{1}{x})^k=\sum_{k=0}^{16}.\sum_{i=0}^{16-k}.\sum_{m=0}^{k}.\textrm{C}_{n}^{k}.\textrm{C}_{16-k}^{i}.\textrm{C}_{k}^{m}.x^{3i}.x^{2k-2m}.\frac{1}{x^m} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k\leq 16\\ i+k\leq 16\\ m\leq k\\ 3i+2k-3m=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \begin{bmatrix} i=4,k=m=11\\ i=3,k=m=8\\ i=2,k=m=5\\ i=2,k=11,m=9\\ i=1,k=m=2\\ i=1,k=14,m=10\\ \end{bmatrix}$

 

Bài này mình đọc vội nên nhầm đề thành hệ số của số hạng $x$