Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số tự nhiên $n$ thoả mãn $\frac{n^3+5n+1}{n^4+6n^2+n+5}=\frac{85}{361}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Bài 1: Cho các sô hữu tỷ dương thoả mãn $x+\frac{1}{yz};y+\frac{1}{zx};z+\frac{1}{xy}$ là các số nguyên. Tìm GTLN của biểu thức: 
$A=x+y^2+z^3$

Bài 2: Tìm các số tự nhiên $n$ thoả mãn $\frac{n^3+5n+1}{n^4+6n^2+n+5}=\frac{85}{361}$

Bài 3: Tìm số nguyên dương $n$ sao cho n có tất cả k ước tự nhiên $d_{1};d_{2};d_{3};...;d_{k}$ thoả mãn điều kiện $1=d_{1}< d_{2}< d_{3}< ...<d_{k} <n(k\geq 15)$, đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau:

i) $n=d_{13}+d_{14}+d_{15}$

ii) $(d_{5}+1)^3= d_{15}+1$

Bài 4: Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho số $2013$ viết được thành $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ trong đó các số $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{n}$ là các hợp số. Kết quả trên thay đổi như thế nào nếu thay số $2013$ bằng số $2014$.

Bài 5: Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thoả mãn điều kiện $3^m+5^n$ chia hết cho $8$, chứng minh rằng $3^n+5^m$ cũng chia hết cho $8$.

Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn $(a+2)\vdots b$ và $(b+3)\vdots a$

Bài 7: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n;k)$ với $k>1$ sao cho $A= 17^{2016n}+4.17^{2n}+7.19^{5n}$ có thể phân tích được thành $k$ số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a;b;c)$ thoả mãn $(a^5+b)(a+b^5)=2^c$



#2
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

mọi người giúp em với ạ!! em xin cảm ơn



#3
socolasua

socolasua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

giúp e vs trong ngày hôm nay tuần sau bọn e phải đi thi rồi nên mọi ng giúp chúng e vs



#4
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

Bài 5: 

Nếu m và n đều chẵn thì $3^m=3^{2k}=(3^2)^k=9^k\equiv 1 (mod8)$

$5^n=25^q\equiv 1(mod 8)$

nên $3^m+5^n\equiv 2(mod 8)$ (Hoang đường)

Tương tự như trên với n lẻ m chẵn. n chẵn m lẻ đều suy ra vô lí 

Do đó m , n cùng lẻ 

nên $3^m+5^m +3^n+5^n=8Q+8K\equiv 0 (mod 8)$

suy ra đpcm


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#5
chung0103

chung0103

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
Mọi người giúp em vs ạ

#6
socolasua

socolasua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

giúp chúng e vs ạ mấy bài số học này khó wa mak sang tuần chúng e thi hsg rồi mọi ng giúp chúng e vs



#7
toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết

 

 

Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn $(a+2)\vdots b$ và $(b+3)\vdots a$

 

Tội tụi nhỏ mới đầu năm đã phải thi HSG :D

Đề cho ta $\left\{\begin{matrix} b\mid a+2 & \\ a\mid b+3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\mid a+b+2 & \\ a\mid a+b+3 & \end{matrix}\right.$

Gọi $d=(a;b)$ suy ra $\left\{\begin{matrix} d\mid a+b+2 & \\ d\mid a+b+3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow d\mid (a+b+3)-(a+b+2)=1\Rightarrow d=1$.

Chỗ này hơi dài và dại... Với $a=b\Rightarrow a=b=1$ (thỏa)

Xét 1 trường hợp $a> b$. Ta sẽ chứng minh $1\leq a-b\leq 3$. 

Thật vậy, với $a-b> 3\Rightarrow b+3< a$ (vô lí bởi giả thiết)

Vậy xét lần lượt các trường hợp $a-b=1,a-b=2,a-b=3$ để được kết quả.

Làm tương tự với trường hợp còn lại. :D

Quải quá nên hơi gà, mong sửa giúp phần cuối cho gọn ghẽ :D


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#8
Baodungtoan8c

Baodungtoan8c

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

$\frac{361}{85}=4+\frac{21}{85}=4+\frac{1}{\frac{85}{21}}=4+\frac{1}{4+\frac{1}{21}}$

Tách vế trái ra như trên rồi đồng nhất với hệ phân số trên=>n=4


Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

                                                                                                                      Albert Einstein. 


#9
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Bài 1: Cho các sô hữu tỷ dương thoả mãn $x+\frac{1}{yz};y+\frac{1}{zx};z+\frac{1}{xy}$ là các số nguyên. Tìm GTLN của biểu thức: 
$A=x+y^2+z^3$

Đặt: $xyz=\frac{p}{q}$ với $p,q\in N^*,ƯCLN(p,q)=1$

Ta có: $(x+\frac{1}{yz})(y+\frac{1}{xz})(z+\frac{1}{xy})=x(1+\frac{1}{xyz})y(1+\frac{1}{xyz})z(1+\frac{1}{xyz})=\frac{p}{q}(1+\frac{p}{q})^3=xyz(1+\frac{1}{abc})^3=\frac{(p+q)^3}{p^2q}$

Vì $\frac{(p+q)^3}{p^2q}\in Z\Rightarrow (p+q)^3 \mid (p^2q)$

Mà $ƯCLN(p,q)=1\Rightarrow ƯCLN(p+q,q)=1;ƯCLN(p+q,p)=1\Rightarrow p=q=1$

Do đó: $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{yz}=2x;y+\frac{1}{zx}=2y;z+\frac{1}{xy}=2z\\ (x+\frac{1}{yz})(y+\frac{1}{zx})(z+\frac{1}{xy})=8 \end{matrix}\right.$

Ta tìm được $(2x;2y;2z)\in \left \{ (1;1;8);(1;2;4);(2;2;2) \right \}$ và các hoán vị

$\Rightarrow (x;y;z)\in \left\{(\frac{1}{2};\frac{1}{2};4);(\frac{1}{2};1;2);(1;1;1)\right\}$ và các hoán vị

Thử các hoán vị ta có: $A_{min}=63\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2};z=4$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh