Bài 1: Cho các sô hữu tỷ dương thoả mãn $x+\frac{1}{yz};y+\frac{1}{zx};z+\frac{1}{xy}$ là các số nguyên. Tìm GTLN của biểu thức:
$A=x+y^2+z^3$
Bài 2: Tìm các số tự nhiên $n$ thoả mãn $\frac{n^3+5n+1}{n^4+6n^2+n+5}=\frac{85}{361}$
Bài 3: Tìm số nguyên dương $n$ sao cho n có tất cả k ước tự nhiên $d_{1};d_{2};d_{3};...;d_{k}$ thoả mãn điều kiện $1=d_{1}< d_{2}< d_{3}< ...<d_{k} <n(k\geq 15)$, đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau:
i) $n=d_{13}+d_{14}+d_{15}$
ii) $(d_{5}+1)^3= d_{15}+1$
Bài 4: Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho số $2013$ viết được thành $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ trong đó các số $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{n}$ là các hợp số. Kết quả trên thay đổi như thế nào nếu thay số $2013$ bằng số $2014$.
Bài 5: Cho $m$ và $n$ là hai số nguyên dương thoả mãn điều kiện $3^m+5^n$ chia hết cho $8$, chứng minh rằng $3^n+5^m$ cũng chia hết cho $8$.
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn $(a+2)\vdots b$ và $(b+3)\vdots a$
Bài 7: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n;k)$ với $k>1$ sao cho $A= 17^{2016n}+4.17^{2n}+7.19^{5n}$ có thể phân tích được thành $k$ số tự nhiên liên tiếp.
Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a;b;c)$ thoả mãn $(a^5+b)(a+b^5)=2^c$