Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyentinh]

Bài 1: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $4f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+x$. Chứng minh $f\left ( 0 \right )=0.$

Bài 2: Tìm hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn

$i)f\left ( x+1 \right )=f\left ( x \right )+1 \forall x \in \mathbb{Q}^{+}$

$ii)f\left ( x^{2} \right )=\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{2}+1 \forall x \in \mathbb{Q}^{+}$

[Isaac Newton]

Bài 1: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $4f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+x$. Chứng minh $f\left ( 0 \right )=0.$

Giả sử tồn tại a,b sao cho $f(a)=f(b)$

Khi đó cho x=a:

$4f(f(a))=2f(a)+a$

Cho x=b: $4f(f(b))=2f(b)+b$, suy ra a=b.

Do vậy $f(x)$ là đơn ánh.

Cho x=o:

$2f(f(0))=f(0)$. Thế x bởi $f(0)$ được: $4f(f(f(0)))=2f(f(0))+f(0)$ $ \Rightarrow 4f(f(f(0)))=4f(f(0))$

$\Rightarrow f(f(f(0)))=f(f(0))$

$\Rightarrow f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$, do f là đơn ánh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isaac Newton: 10-10-2016 - 22:01

[Ririchiyo121]

 

Bài 2: Tìm hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn

$i)f\left ( x+1 \right )=f\left ( x \right )+1 \forall x \in \mathbb{Q}^{+}$

$ii)f\left ( x^{2} \right )=\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{2}+1 \forall x \in \mathbb{Q}^{+}$