Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Ninh ngày 1 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 11-10-2016 - 13:09

Nguồn : Thầy Nguyễn Trung Tuấn 
14681758_602228656631298_130630098207497



#2 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 11-10-2016 - 14:54

Câu 1

 

$P=\sum \frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}\geq \sum \frac{\dfrac{1}{2}(a+b)}{\dfrac{a+b}{2}+1}=\sum \frac{a+b}{a+b+2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+b=x & & & \\ b+c=y & & & \\ c+a=z & & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xyz=1$

 

Đặt $\left ( x;y;z \right )\rightarrow \left ( \frac{m}{n};\frac{n}{p};\frac{p}{q} \right )$

 

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{x}{x+2}=\sum \frac{\dfrac{m}{n}}{\dfrac{m}{n}+2}=\sum \frac{m}{m+2n}=\sum \frac{m^2}{m^2+2mn}\geq \frac{(m+n+q)^2}{(m+n+q)^2}=1$



#3 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 11-10-2016 - 20:10

Bài 2: 

Gọi $P(x,y)$ là phép thế cho $x,y$ : $f(x^2+2f(y))=2y+f^2(x)$   $(1)$

Đặt $f(0)=a$ . $P(0,y)\Rightarrow f(2f(y))=2y+ a^2$

$P(x,2f\left ( y-\frac{a^{2}}{2} \right ))\Rightarrow f(x^2+4y)=2f(y-\frac{a^2}{2})+f^2(x)$   $(2)$

Thế $x=0$ vào $(2)$ $\Rightarrow f(4y)=2f(y-\frac{a^{2}}{2})+a^2\Rightarrow f(x^2+4y)=f(4y)+f^2(x)-a^2$  $(3)$

Thế $y=0$ vào $(3)$ $\Rightarrow f(x^2)=a+f^2(x)-a^2$

Từ đó $\Rightarrow f(x^2+4y)=f(4y)+f(x^2)-a$

Đặt $g(x)=f(x)-a$. Ta có : $g(x+y)=g(x)+g(y)$ với $x\geq 0$ , $\forall y$

Dễ thấy $g(0)=0$ và $g(x)$ lẻ $\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$ với $\forall x,y$

$P(x,0)\Rightarrow f(x^2+4f(0))=f^2(x)\Rightarrow f(x^2+4f(0))-f(0)=f^2(x)-f(0)\geq -f(0)$

$\Rightarrow g(x)\geq -f(0)$   $\Rightarrow g(x)=ax\Rightarrow f(x)=ax+b$ .

Thế vào $(1)$ $\Rightarrow f(x)=x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 11-10-2016 - 21:41


#4 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 11-10-2016 - 21:39

Ngày $1$:

 

Bài $1$: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm min của biểu thức:

                    $P=\sum\frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}$

Bài $2$: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

                    $f(x^2+2f(y))=2y+f^2(x)$ $\forall$ $x,y\in\mathbb{R}$

Bài $3$: Cho số nguyên $n\geq 2$ thỏa mãn điều kiện $2^{\varphi(n)}+3^{\varphi(n)}+...+n^{\varphi(n)}$ chia hết cho $n$, trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương ko vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$

$a)$ CMR: $n$ ko có ước số lớn hơn $1$ nào là số chính phương

$b)$ Biết rằng $n$ có ko quá $3$ ước nguyên tố, tìm tất cả các số $n$ thỏa mãn điều kiện trên

Bài $4$: Cho $\triangle ABC$ nhọn ko cân tại $A$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $2$ tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ va $C$ lên $AP$, $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BC$. Đường tròn $(CQD)$ và $(BQE)$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $K,L$

$a)$ CMR: $\angle MKC=\angle MLB$

$b)$ Kẻ đường kính $AT$ của $(O)$. Giả sử các đường thẳng $TB,TC,AK,AL$ đôi $1$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt. CMR: $4$ giao điểm này là $4$ đỉnh của $1$ tứ giác nội tiếp 

 

Ngày $2$:

 

Bài $5$: Cho $a,b\in\mathbb{N^{*}}$. Xét dãy số $u_{n}$ xác định bởi $u_{n}=a^2n^2+bn$ $\forall n\geq 1$. Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}$ {$\sqrt{u_{n}}$}, trog đó ký hiệu {$x$} là phần lẻ của $x$

Bài $6$: Gọi $d(n)$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của số nguyên $n$ nếu $n\notin$ {$-1;0;1$}. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in Z[x]\not\equiv -1;0;1$ sao cho $\forall n\in\mathbb{N^{*}}, n>1$, ta có:

                                $P(n+d(n))=n+d(P(n))$

Bài $7$: Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ $(AB<AC)$, trực tâm $H$. Lấy điểm $T$ trên $(O)$ sao cho $AT\parallel BC$. Giả sử $AH$ cắt $(O)$ tại $K$, $TH$ cắt $(O)$ tại $D$ trên cung nhỏ $BC$. Gọi $I$ là trung điểm của $HT$

$a)$ CMR: $5$ điểm $A,L,O,K,D$ cùng thuộc $1$ đường tròn

$b)$ Gọi $P$ là giao điểm thứ $2$ của $AO$ với $(O)$. Đường thẳng qua $H$ song song với $BC$ cắt $PD$ tại $X$. CMR: $XA$ là tiếp tuyến của $(O)$ 

Bài $8$: Giả sử $S$ là tập hợp hữu hạn các điểm mà mỗi điểm của nó đc tô bởi $1$ trog $2$ màu đỏ hoặc xanh. Gọi $A_{1},A_{2},...,A_{68}$ là các tập con của tập $S$ mà mỗi tập chứa đúng $5$ điểm thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện sau:      $1)$ Mỗi tập $A_{1},A_{2},...,A_{68}$ chứa ít nhất $1$ điểm màu đỏ

             $2)$ Với $3$ điểm bất kỳ trog $S$, tồn tại chính xác $1$ tập con $A_{i}$ chứa $3$ điểm đỏ

$a)$ Tìm số ptử của tập $S$

$b)$ Tồn tại hay ko $1$ tập con $A_{i}$ chứa $4$ hoặc $5$ điểm đỏ. Vì sao?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 14-10-2016 - 23:31


#5 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-10-2016 - 23:28

 

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:

                    $f(x^2+2f(y))=2y+f^2(x)\forall$ $x,y\in\mathbb{R}$

 

Câu hàm quen thuộc rồi

Từ đầu dễ thấy $f$ là 1 song ánh

Do đó $\exists a: f(a)=0 $

Thay $x=0, y=a => f^2(0) + 2a=f(0) $

         $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $

Do đó $(a^2-a)^2 +2a =a^2-a $ 

          $a^4-2a^3+3a= 0 => a=0 ; a=-1 $

TH1: $a=-1 => f^2(0) - f(0) -2 =0 => f(0)=-2 $

Từ pt đầu cho $x=0 => f(2f(y)) = 2y +f^2(0) $

Thay $y=-1 => f(2f(-1)) = 2.(-1) + 4  <-=> f(0) = -2 +4 =2 $

Mà $f(0)=-2 $ nên vô lí

TH2: $f(0)=0$

Thay $y=0 => f(x^2)= f^2(x) $ 

Dễ suy ra được $f$ lẻ trên $R$

Thay $y= \frac{-f^2(x)}{2} => x^2+2f(-\frac{f^2(x)}{2} ) = 0$ 

Từ pt đầu ta thay $y=-\frac{f^2(y)}{2} $ , ta được 

$f(x^2 -y^2) = f^2(x) -f^2(y) =f(x^2) - f(y^2) , \forall x,y \in R$

$=> f(x-y) = f(x)- f(y) , \forall x,y \in R^{+} $ 

Mà do $f$ lẻ nên $f(x-y)=f(x)-f(y) , \forall x,y \in R $

Thay $x-> x+y => f(x+y)=f(x)+f(y) $ 

Tới đây ta sẽ tính $f((x+1)^2) $ bằng 2 cách

Cách 1: $f((x+1)^2) = f(x^2) +2f(x) + f^2(1) $

Cách 2: $f((x+1)^2)= f^2(x+1)= (f(x) + f(1))^2 $

Do đó $f(x)= ax $ 

Tới đây dễ rồi 



#6 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2016 - 00:16

 

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                    $P=\sum\frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}$

 

Ta có đánh giá sau $a^2-ab+b^2 = \frac{1}{4}(a+b)^2 + \frac{3}{4} (a-b)^2 \geq \frac{1}{4}(a+b)^2 $

Do đó, ta có

$P \geq \sum \frac{a+b}{2\sqrt{ab} + 2 } $

Mặt khác ya có 

$P-1 \geq \sum (\frac{a+b}{2\sqrt{ab}+2} -\frac{1}{3}) = \frac{(a+b-2\sqrt{ab} ) + 2(a+b-1)}{2\sqrt{ab}+2 } $ 

Ta chứng minh 

$\sum \frac{a+b-1}{2\sqrt{ab}+2} \geq 0 $

Không mất tỉnh tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$

Khi đó thì $ab \geq ac \geq bc $

Do đó $\sum \frac{a+b-1}{2\sqrt{ab}+2} \geq  \frac{2(a+b+c)-3}{2\sqrt{ab} +2} $

Mà ta có do $1=(a+b)(b+c)(c+a) \leq (\frac{2a+2b+2c}{3} )^3 => a+b+c \geq \frac{3}{2} $ 

Do đó $\sum \frac{a+b-1}{2\sqrt{ab}+2} \geq  \frac{2(a+b+c)-3}{2\sqrt{ab} +2} \geq 0 $

Do đó $P \geq 1 $

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c= \frac{1}{2} $



#7 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 12-10-2016 - 01:04

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                    $P=\sum\frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}$

Cách khác: $P\geq\sum\frac{\frac{a+b}{2}}{\frac{a+b}{2}+1}=\sum\frac{a+b}{a+b+2}$

Đổi biến $(a+b, b+c, c+a)\rightarrow (\frac{x^2}{yz}, \frac{y^2}{zx}, \frac{z^2}{xy})$

$P\geq\sum\frac{\frac{x^2}{yz}}{\frac{x^2}{yz}+2}=\sum\frac{x^2}{x^2+2yz}\geq\frac{(\sum x)^2}{\sum x^2+2\sum xy}=1$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$



#8 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 12-10-2016 - 01:19

 

 

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                    $P=\sum\frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}$

 

Ta có $a^{2}-ab+b^{2}= \left [ \frac{1}{2}\left (a-b \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \right ]\geq \frac{1}{4}\left ( a+b \right )^{2}$

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a+b}{2\sqrt{ab}+2}\geq \sum \frac{a+b}{a+b+2}$

Đổi biến $\left ( a+b,b+c,c+a \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$ thì $P\geq \sum \frac{x}{x+2}$ và $xyz=1$

Đây là bài toán đơn giản. Đổi ẩn $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( \frac{m}{n},\frac{n}{p},\frac{p}{m} \right )$

Khi đó $P\geq \sum \frac{m}{m+2n}=\sum \frac{m^{2}}{m+2mn}\geq \frac{\left ( m+n+p \right )^{2}}{\left (m+n+p \right )^{2}}=1$

Vậy min P=1 $\Leftrightarrow$ $a=b=c=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 12-10-2016 - 13:39


#9 takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-10-2016 - 09:45

Bài 3:

a. Đặt $n=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$, trong đó $p_1,p_2,...,p_k$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Giả sử $n$ có ước số là số chính phương, do đó tồn tại $\alpha _i \geq 2\left( 1\leq i\leq k \right )$, giả sử đó là $\alpha _1$

Ta có $\varphi \left ( n \right )=n\prod_{p|n}\left ( 1-\frac{1}{p} \right )\Rightarrow \left (p_1-1 \right )|n$

Vì $n|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }\Rightarrow p_1|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }$. Từ $2$ đến $n$ có $p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số chia hết cho $p_1$ và $n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số nguyên tố cùng nhau với $p_1$.

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right )}\equiv n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\equiv 0\left ( modp_1 \right )\Rightarrow 1\equiv 0\left ( mod p_1 \right )$(vô lý). Do đó giả sử sai ta có đpcm.

b. Theo câu a, $n$ có dạng phân tích chuẩn mực là $p_1p_2...p_k$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau.

Chứng minh tương tự câu a, ta có được $p_i|n-\frac{n}{p_i}-1\left ( 1\leq i\leq k \right )$

Từ đây thay $k=1,2,3$ ta giải đươc $n=2,6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 12-10-2016 - 09:46


#10 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-10-2016 - 16:34

Đề đã được post tại đây. Mọi người vào topic đó thảo luận nhé.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#11 lamvienckt13

lamvienckt13

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Kon Tum

Đã gửi 12-10-2016 - 18:54

Câu hàm quen thuộc rồi

Từ đầu dễ thấy $f$ là 1 song ánh

Do đó $\exists a: f(a)=0 $

Thay $x=0, y=a => f^2(0) + 2a=f(0) $

         $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $

Do đó $(a^2-a)^2 +2a =a^2-a $ 

          $a^4-2a^3+3a= 0 => a=0 ; a=-1 $

TH1: $a=-1 => f^2(0) - f(0) -2 =0 => f(0)=-2 $

Từ pt đầu cho $x=0 => f(2f(y)) = 2y +f^2(0) $

Thay $y=-1 => f(2f(-1)) = 2.(-1) + 4  <-=> f(0) = -2 +4 =2 $

Mà $f(0)=-2 $ nên vô lí

TH2: $f(0)=0$

Thay $y=0 => f(x^2)= f^2(x) $ 

Dễ suy ra được $f$ lẻ trên $R$

Thay $y= \frac{-f^2(x)}{2} => x^2+2f(-\frac{f^2(x)}{2} ) = 0$ 

Từ pt đầu ta thay $y=-\frac{f^2(y)}{2} $ , ta được 

$f(x^2 -y^2) = f^2(x) -f^2(y) =f(x^2) - f(y^2) , \forall x,y \in R$

$=> f(x-y) = f(x)- f(y) , \forall x,y \in R^{+} $ 

Mà do $f$ lẻ nên $f(x-y)=f(x)-f(y) , \forall x,y \in R $

Thay $x-> x+y => f(x+y)=f(x)+f(y) $ 

Tới đây ta sẽ tính $f((x+1)^2) $ bằng 2 cách

Cách 1: $f((x+1)^2) = f(x^2) +2f(x) + f^2(1) $

Cách 2: $f((x+1)^2)= f^2(x+1)= (f(x) + f(1))^2 $

Do đó $f(x)= ax $ 

Tới đây dễ rồi 

chỗ   $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $  là sai rồi bạn. 

f(a^{2}+2f(0))= 0 = f(a)

từ đó giải ra f(0)= a hoặc f(0)+a=0
trường hợp f(0)+a=0 giải ra vô nghiệm, trường hợp f(0)=a, giải ra f(0)=0 hoặc f(0)=-1, f(-1)=0
trong (*) thay x~-1, y~-1 => f(1)=-2 (vô lý)
Do đó f(0)=0
Từ đó ta suy ra được f(a+b)=f(a)+f(b) với mọi \forall a, b thuộc R
ta có f(x_{2})= (f(x))_{2} nên suy ra f đơn điệu tăng
từ đó giải ra f(x)=ax, thử lại => a=1 
theo mình thấy thì hàm như trên không thể tính f((x+1)^{2}) bằng 2 cách được mà phải chứng minh đơn điệu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamvienckt13: 12-10-2016 - 19:32


#12 Huyvippro

Huyvippro

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:đá bóng

Đã gửi 13-10-2016 - 07:42

Cho mình xin đáp án bài hình với

#13 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 13-10-2016 - 19:44

Bài 4 :a) $( OCD)$ cắt $AC$ tại $G$ ,$MN$ vuông góc với $AC$ tại $N$

$AQ$ đối trung nên dễ dàng tính dc tỉ số$\frac{BQ}{BM}=\frac{2AB^2}{AB^2+AC^2}$$(3)$

Ta lại có $AG.AC=AD.AQ$ suy ra$\frac{AG}{AN}=\frac{AD.AQ}{AM.AC.cos\widehat{MAN}}=\frac{AB.AQ}{AC.AM}$ $(1)$

Do $AM. AQ$ đẳng giác có $AM$ trung tuyến nên ta có thế dễ dàng tính dc$\frac{AQ}{AM}=\frac{2AB.AC}{AB^2+AC^2}$$(2)$

từ $(1)(2)(3)$ suy ra $\frac{AG}{AN}=\frac{2AB^2}{AB^2+AC^2}=\frac{BQ}{BM}$

suy ra các đường tròn ngoại tiếp tam giác$(ABC),(QDC),(MNC)$ đồng trục , tức cùng đy qua $C,K$suy ra$\widehat{MKC}=90^o$

tương tự ta có $\widehat{BLM}=90^o$ suy ra dpcm

b) từ phần a , dễ suy ra $AL,AK$ đẳng giác Mà có phân giác ngoài góc $BTC$ và phân giác trong góc $LAK$ cắt nhau tại $J$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$  mà $\widehat{AJT}=90^o$ nên theo bổ đề nt thi các giao điểm đó đồng viên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 13-10-2016 - 19:46

~O)  ~O)  ~O)


#14 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 13-10-2016 - 22:38

Bài 4 

b) từ phần a , dễ suy ra $AL,AK$ đẳng giác Mà có phân giác ngoài góc $BTC$ và phân giác trong góc $LAK$ cắt nhau tại $J$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$  mà $\widehat{AJT}=90^o$ nên theo bổ đề nt thi các giao điểm đó đồng viên

Bạn c/m lại bổ đề đó đc ko?  :wacko:



#15 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2016 - 23:06

 

chỗ   $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $  là sai rồi bạn. 

f(a^{2}+2f(0))= 0 = f(a)

từ đó giải ra f(0)= a hoặc f(0)+a=0
trường hợp f(0)+a=0 giải ra vô nghiệm, trường hợp f(0)=a, giải ra f(0)=0 hoặc f(0)=-1, f(-1)=0
trong (*) thay x~-1, y~-1 => f(1)=-2 (vô lý)
Do đó f(0)=0
Từ đó ta suy ra được f(a+b)=f(a)+f(b) với mọi \forall a, b thuộc R
ta có f(x_{2})= (f(x))_{2} nên suy ra f đơn điệu tăng
từ đó giải ra f(x)=ax, thử lại => a=1 
theo mình thấy thì hàm như trên không thể tính f((x+1)^{2}) bằng 2 cách được mà phải chứng minh đơn điệu!

 

Sao sai bạn Mình có $f$ là đơn ánh mà 



#16 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 14-10-2016 - 06:44

Bạn c/m lại bổ đề đó đc ko?  :wacko:

Cộng góc là dc mà bạn  :closedeyes:


~O)  ~O)  ~O)


#17 tranluuthaip

tranluuthaip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 26-10-2016 - 22:14

Bài 3:

a. Đặt $n=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$, trong đó $p_1,p_2,...,p_k$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Giả sử $n$ có ước số là số chính phương, do đó tồn tại $\alpha _i \geq 2\left( 1\leq i\leq k \right )$, giả sử đó là $\alpha _1$

Ta có $\varphi \left ( n \right )=n\prod_{p|n}\left ( 1-\frac{1}{p} \right )\Rightarrow \left (p_1-1 \right )|n$

Vì $n|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }\Rightarrow p_1|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }$. Từ $2$ đến $n$ có $p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số chia hết cho $p_1$ và $n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số nguyên tố cùng nhau với $p_1$.

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right )}\equiv n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\equiv 0\left ( modp_1 \right )\Rightarrow 1\equiv 0\left ( mod p_1 \right )$(vô lý). Do đó giả sử sai ta có đpcm.

b. Theo câu a, $n$ có dạng phân tích chuẩn mực là $p_1p_2...p_k$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau.

Chứng minh tương tự câu a, ta có được $p_i|n-\frac{n}{p_i}-1\left ( 1\leq i\leq k \right )$

Từ đây thay $k=1,2,3$ ta giải đươc $n=2,6$

bài của bạn thiếu nghiệm 42=2.3.7 rồi



#18 maroon987

maroon987

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 29-10-2016 - 17:39

Bài 4 :a) $( OCD)$ cắt $AC$ tại $G$ ,$MN$ vuông góc với $AC$ tại $N$

$AQ$ đối trung nên dễ dàng tính dc tỉ số$\frac{BQ}{BM}=\frac{2AB^2}{AB^2+AC^2}$$(3)$

Ta lại có $AG.AC=AD.AQ$ suy ra$\frac{AG}{AN}=\frac{AD.AQ}{AM.AC.cos\widehat{MAN}}=\frac{AB.AQ}{AC.AM}$ $(1)$

Do $AM. AQ$ đẳng giác có $AM$ trung tuyến nên ta có thế dễ dàng tính dc$\frac{AQ}{AM}=\frac{2AB.AC}{AB^2+AC^2}$$(2)$

từ $(1)(2)(3)$ suy ra $\frac{AG}{AN}=\frac{2AB^2}{AB^2+AC^2}=\frac{BQ}{BM}$

suy ra các đường tròn ngoại tiếp tam giác$(ABC),(QDC),(MNC)$ đồng trục , tức cùng đy qua $C,K$suy ra$\widehat{MKC}=90^o$

tương tự ta có $\widehat{BLM}=90^o$ suy ra dpcm

b) từ phần a , dễ suy ra $AL,AK$ đẳng giác Mà có phân giác ngoài góc $BTC$ và phân giác trong góc $LAK$ cắt nhau tại $J$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$  mà $\widehat{AJT}=90^o$ nên theo bổ đề nt thi các giao điểm đó đồng viên

Bổ đề nt có nội dung là gì vậy ạ? 



#19 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 29-10-2016 - 17:49

Bổ đề nt có nội dung là gì vậy ạ? 

tứ giác $ABCD$ , $AB$ cắt $CD$ =$P$ , $AD$ Cắt $BC$ tại $Q$ , Phân giác góc $P$ vuông góc với phân giác góc $Q$ khi và chỉ khi tứ giác $ACBD$ nội tiếp . Cái này cm bằng cộng góc đơn thuần thoy bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 29-10-2016 - 17:50

~O)  ~O)  ~O)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh