Đến nội dung

Hình ảnh

Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^{2016}}{x_{i+1}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi: 

$x_1=1,x_{n+1}=x_n(1+x_n^{2016}),n\geq 1$

Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty}(\frac{x_1^{2016}}{x_2}+\frac{x_2^{2016}}{x_3}+...+\frac{x_n^{2016}}{x_{n+1}})$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Ý tưởng bài này rất rõ ràng. Từ dãy truy hồi ta thu được $\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n + 1}} = \frac{x_{n}^{2016}}{x_{n + 1}}$
Lấy tổng ta thu được $\lim_{n\to +\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2016}}{x_{i + 1}} = \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{n + 1}} = 1 - \frac{1}{x_{n + 1}}$
Lại dễ dàng chứng minh được dãy $x_{n}$ là dãy vô cùng lớn nên ta kết luận $\lim_{n\to +\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{x_{i}^{2016}}{x_{i + 1}} = 1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh