$Cho x+y+z\geq 12.Tìm min : P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$
$Cho x+y+z\geq 12.Tìm min : P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$
#1
Đã gửi 14-10-2016 - 15:14
#2
Đã gửi 14-10-2016 - 18:47
Ta có:
P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}=\sum \frac{2x}{\sqrt{4y}}\geq \sum \frac{4x}{y+4}$
mà $\sum \frac{4x}{y+4}+\sum \frac{y+4}{4}\geq \sum x\Rightarrow \sum \frac{4x}{y+4}\geq \frac{3}{4}\sum x-3\geq \frac{3}{4}.12-1=8$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=4
- CaptainCuong yêu thích
Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks
#3
Đã gửi 15-10-2016 - 16:26
Ta có:
P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}=\sum \frac{2x}{\sqrt{4y}}\geq \sum \frac{4x}{y+4}$
mà $\sum \frac{4x}{y+4}+\sum \frac{y+4}{4}\geq \sum x\Rightarrow \sum \frac{4x}{y+4}\geq \frac{3}{4}\sum x-3\geq \frac{3}{4}.12-1=8$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=4
chỗ này sai sai
#4
Đã gửi 15-10-2016 - 16:33
chỗ này sai sai
sai rồi chơ còn gì nữa bạn
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
#5
Đã gửi 16-10-2016 - 12:01
Bổ đề $3\sum a^{2}b\leq \left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{2} \right )$
P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}= \sum \frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum x\sqrt{y}}$
Theo bổ đề ta có $3\sum x\sqrt{y}\leq \left (\sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )$
Dự đoán min=6
Ta phải chứng minh
$\left (\sum x \right )^{2}\geq \left 2( \sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )\Leftrightarrow \sum x\geq 2\sum \sqrt{x}$
Mà theo bđt Cauchy-Schwarz $\sum \sqrt{x}\leq \sqrt{3\sum x}$ nên ta phải chứng minh
$\sqrt{\sum x}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sum x\geq 12$
Bđt cuối luôn đúng nên ta có min=6 khi x=y=z=4
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 16-10-2016 - 23:55
- CaptainCuong yêu thích
#6
Đã gửi 16-10-2016 - 13:21
Bổ đề $3\sum a^{2}b\leq \left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{2} \right )$
P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}= \sum \frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum x\sqrt{y}}$
Theo bổ đề ta có $3\sum x\sqrt{y}\leq \left (\sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )$
Dự đoán min=6
Ta phải chứng minh
$\left (\sum x \right )^{2}\geq \left 2( \sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )\Leftrightarrow \sum x\geq 2\sum \sqrt{x}$
Mà theo bđt Cauchy-Schwarz $\sum \sqrt{x}\leq \sqrt{3\sum x}$ nên ta phải chứng minh
$\sqrt{\sum x}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sum x\geq 12$
Bđt cuối luôn đúng nên ta có min=6 khi x=y=z=4
Chỗ bị lỗi là $\left (\sum x \right )^{2}\geq 2\left( \sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )\Leftrightarrow \sum x\geq 2\sum \sqrt{x}$ nhé
#7
Đã gửi 17-10-2016 - 08:32
Bổ đề $3\sum a^{2}b\leq \left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{2} \right )$
P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}= \sum \frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum x\sqrt{y}}$
Theo bổ đề ta có $3\sum x\sqrt{y}\leq \left (\sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )$
Dự đoán min=6
Ta phải chứng minh
$\left (\sum x \right )^{2}\geq \left 2( \sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )\Leftrightarrow \sum x\geq 2\sum \sqrt{x}$
Mà theo bđt Cauchy-Schwarz $\sum \sqrt{x}\leq \sqrt{3\sum x}$ nên ta phải chứng minh
$\sqrt{\sum x}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sum x\geq 12$
Bđt cuối luôn đúng nên ta có min=6 khi x=y=z=4
Bạn viết sigma mình không hiểu gì cả. MÌnh chưa học đến đó
#8
Đã gửi 17-10-2016 - 19:59
Bạn viết sigma mình không hiểu gì cả. MÌnh chưa học đến đó
Bạn lên Google tìm đại đi Đằng nào sau này cũng phải biết Với cả dùng sigma cho gọn chứ LATEX dài mỏi tay lắm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh