Chủ đề này có 6 trả lời

[phoenix115]

Câu 1: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

Câu 2: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi nào?

 

[hoanglebaongoc]

Áp dụng bđt Bunhiacopxki : \[\frac{9}{4} = {(a.\sqrt {1 - {b^2}}  + b.\sqrt {1 - {c^2}}  + c.\sqrt {1 - {a^2}} )^2} \le ({a^2} + {b^2} + {c^2})(3 - {a^2} - {b^2} - {c^2})\]

Đặt \[t = {a^2} + {b^2} + {c^2}\] thì ta có \[t(3 - t) \ge \frac{9}{4} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + \frac{9}{4} \le 0 \Leftrightarrow {(t - \frac{3}{2})^2} \le 0\]

Mà \[{(t - \frac{3}{2})^2} \ge 0\] . Vậy t = 3/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglebaongoc: 15-10-2016 - 22:15

[Ngockhanh99k48]

Câu 2:
Cách 1: Do $abc=1$ nên tồn tại $x, y, z >0$ sao cho $a=\sqrt{\frac{y}{x}}, b=\sqrt{\frac{z}{y}}, c=\sqrt{\frac{x}{z}}$. Khi đó:
$P= \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$ $=$ $\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}} \leq \sqrt{[x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)][\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(z+x)(x+y)}]}$ $=$ $\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. BĐT cuối cùng đúng là do $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$.
Cách 2: sử dụng AM-GM ta có:
$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{2x}{x+y}} \leq \sum_{cyc}[\frac{3x(y+z)}{4(xy+yz+zx)} + \frac{2(xy+yz+zx)}{3(x+y)(y+z)}] = \frac{17}{6}+\frac{4xyz}{3(x+y)(y+z)(z+x)} \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngockhanh99k48: 15-10-2016 - 15:11

[tienduc]

Áp dụng bđt Bunhiacopxki : \[\frac{9}{4} = {(a.\sqrt {1 - {b^2}}  + b.\sqrt {1 - {c^2}}  + c.\sqrt {1 - {a^2}} )^2} \le ({a^2} + {b^2} + {c^2})(3 - {a^2} - {b^2} - {c^2})\]

Đặt \[t = {x^2} + {y^2} + {z^2}\] thì ta có \[t(3 - t) \ge \frac{9}{4} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + \frac{9}{4} \le 0 \Leftrightarrow {(t - \frac{3}{2})^2} \le 0\]

Mà \[{(t - \frac{3}{2})^2} \ge 0\] . Vậy t=3/2

Đoạn bôi đỏ này phải là $t=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ chứ 

[hoanglebaongoc]

Đoạn bôi đỏ này phải là $t=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ chứ 

Ừ , đúng rồi nhé Mình nhầm (

[HoangKhanh2002]

Câu 1: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

Câu 2: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi nào?

Câu 1: $\frac{3}{2}=a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\leq \frac{1}{2}(a^2+1-b^2+b^2+1-c^2+c^2+1-a^2)=\frac{3}{2}$

Dầu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} a^2=1-b^2\\ b^2=1-c^2\\ c^2=1-a^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

[LinhToan]

Câu 1: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

Câu 2: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi nào?

sử dụng BĐT cô-si: ab<=(a²+b²)/2

suy ra VT<= 1/2(a^2+1-b^2+b^2+1-c^2+c^2+1-a^2)=3/2

dấu "=" khi và chỉ khi a^2=1-b^2

                           b^2=1-c^2

                           c^2=1-a^2

suy ra a^2+b^2+c^2=3/2

dpcm