Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Lào Cai 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 15-10-2016 - 20:41

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2016 - 2017 (TỈNH LÀO CAI)

THỜI GIAN: 180 PHÚT
 

 

 

Câu 1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}(x + 1)\sqrt{y^{2} + y + 2} + (y - 1)\sqrt{x^{2} + x + 1} = x + y \\ (x^{2} + x)\sqrt{x - y + 3} = 2x^{2} + x + y + 1\end{cases}$$
 

Câu 2. Cho dãy số thực $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}x_{1} = \dfrac{5}{2} \\ x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}^{2} - 12x_{n} + \dfrac{20n + 21}{n + 1}}\end{cases}$, $\forall n \ge 1$. Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH$, trực tâm $K$. Đường thẳng $BK$ cắt $(AC)$ tại $D, E$ ($BD < BE$). Đường thẳng $CK$ cắt $(AB)$ tại $F, G$ ($CF < CG$). Và $(DHF)$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$.

  • Chứng minh rằng các điểm $G, H, P, E$ cùng thuộc một đường tròn
  • Chứng minh rằng các đường thẳng $BF, CD, PK$ đồng quy.

Câu 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa $9x^{2} + 24x + 15 = y^{3}$.

 

Câu 5. Một số nguyên dương $k$ được gọi là 'đẹp' nếu có thể phân hoạch tập các số nguyên dương $\mathbb{Z}^{*}$ thành $k$ tập hợp $A_{i}, \quad i = \overline{1, k}$ sao cho với mỗi số nguyên dương $n \ge 15$ và với mọi $i \in \{1, 2, \cdots , k\}$ đều tồn tại hai số thuộc tập $A_{i}$ tương ứng có tổng bằng $n$.

  • Chứng minh rằng $k = 3$ là 'đẹp'.
  • Chứng minh rằng mọi $k \ge 4$ đều không 'đẹp'.

@EGO: Các bạn chịu khó latex ra cho dễ nhìn.

Nguồn: Thầy Nguyen Trung Tuan 
14724655_604065763114254_767243451546108


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-10-2016 - 17:27


#2 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 16-10-2016 - 10:32

Câu 1 
Pt 2 tương đương
$\left (\sqrt{x-y+3}-2 \right )\left ( x^{2}+x+2+\sqrt{x-y+3} \right )=0\Leftrightarrow x=y+1$

Thế lại phương trình 1 để giải
Câu 4
Dễ thấy $3|y$

phương trình tương đương $\left ( 3x+4 \right )^{2}=y^{3}+1\Leftrightarrow \left ( 3x+4 \right )^{2}=\left ( y+1 \right )\left ( y^{2}-y+1 \right )$

mà $gcd\left ( y+1,y^{2}-y+1 \right )=gcd\left ( 3y,y+1 \right )=1$ nên

 $\left\{\begin{matrix} y+1=a^{2}\\ y^{2}-y+1=b^{2} \end{matrix}\right.$

Thế 2 phương trình ta có 

$a^{4}-3a^{2}+3-b^{2}=0\Leftrightarrow 4a^{4}-12a^{2}+12-4b^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left ( 2a^{2}-2b^{2}-3 \right )\left ( 2a^{2}+2b^{2}-3 \right )=-3$

Giải ra có $a^{2}=b^{2}=1$ hay $\left ( x,y \right )=\left ( -1,0 \right )$



#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-10-2016 - 20:31


 

 

Câu 2. Cho dãy số thực $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases}x_{1} = \dfrac{5}{2} \\ x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}^{2} - 12x_{n} + \dfrac{20n + 21}{n + 1}}\end{cases}$, $\forall n \ge 1$. Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Ego sửa lại luôn nhé $x_{n+1} = \sqrt{x_n^3 -12x_n + \frac{20n+21}{n+1} } $ mới đúng 

Bài này thì chắc quen thuộc rồi

Ta sẽ quy nạp $x_n \geq 2 , \forall n \in N^{*} $ 

Với $n=1 $ thì $x_1 =\frac{5}{2} \geq 2 $

Giả sử đúng tới $n$, ta chứng minh đúng với $n+1$

Thật vậy, ta có 

$x_{n+1}^2 = x_n^3 -12x_n + \frac{20n+21}{n+1} \geq x_n^3-12x_n +20 \geq 4 $ do $x_n \geq 2 $

Do đó $x_n \geq 2 , \forall x \in N^{*} $ 

Ta sẽ chứng minh $x_n $ giảm 

Xét hàm số $f(t) = \frac{20t+21}{t+1} $

có $f'(t) = \frac{-1}{(t+1)^2} < 0 $

Do đó $f(t)$ nghịch biến

Do đó $f(n+1) \leq f(n) $ 

Xét hàm số $g(x) = x^3-12x $ trên $[2, + \infty) $

Có $g'(x) = 3x^2 -12 \geq 0 $

Do đó $g(x) $ đồng biến

Ta có $x_2 < x_1 $

Nên giả sử $x_{n-1} > x_n $ 

Ta sẽ chứng minh $x_n > x_{n+1} $

Thật vậy ta có 

$x_{n+1}^2 = x_n^3 -12x_n + \frac{20n+21}{n+1} $

$x_n^2 = x_{n-1}^3 - 12x_{n-1} +\frac{20(n-1)+21}{n} $ 

Ta suy ra đc

$x_{n+1}^2 - x_n^2 \leq 0 $ 

Do đó $x_n $ giảm, bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại $L = lim x_n $

Giải ra được $L=2 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 17-10-2016 - 19:52


#4 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 16-10-2016 - 20:31

Câu 1 
Pt 2 tương đương
$\left (\sqrt{x-y+3}-2 \right )\left ( x^{2}+x+2+\sqrt{x-y+3} \right )=0\Leftrightarrow x=y+1$

Thế lại phương trình 1 để giải
Câu 4
Dễ thấy $3|y$

phương trình tương đương $\left ( 3x+4 \right )^{2}=y^{3}+1\Leftrightarrow \left ( 3x+4 \right )^{2}=\left ( y+1 \right )\left ( y^{2}-y+1 \right )$

mà $gcd\left ( y+1,y^{2}-y+1 \right )=gcd\left ( 3y,y+1 \right )=1$ nên

 $\left\{\begin{matrix} y+1=a^{2}\\ y^{2}-y+1=b^{2} \end{matrix}\right.$

Thế 2 phương trình ta có 

$a^{4}-3a^{2}+3-b^{2}=0\Leftrightarrow 4a^{4}-12a^{2}+12-4b^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left ( 2a^{2}-2b^{2}-3 \right )\left ( 2a^{2}+2b^{2}-3 \right )=-3$

Giải ra có $a^{2}=b^{2}=1$ hay $\left ( x,y \right )=\left ( -1,0 \right )$

Chỗ này thiếu r bạn. $gcd\left (3y,y+1 \right)=1$ hoặc $gcd\left (3y,y+1 \right)=3 $ chứ

Nếu $gcd\left (3y,y+1 \right)=3$ thì $(3x+4)^2 \not\vdots 3$, còn $(y+1)(y^2-y+1) \vdots 3$ nên vô lý



#5 Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Geometry, Inequality, Light Novel, Convert

Đã gửi 16-10-2016 - 20:39

Bài hình bên Quảng Bình mới thi xong, còn bài tổ hợp là của đề Nghệ An  (bài này trog $IMO$ $Shortlist$ $2012$) =))



#6 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-10-2016 - 20:50


 

Câu 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa $9x^{2} + 24x + 15 = y^{3}$.

 

Đặt $a=3x+4 $

Phương trình được viết lại như sau 

$a^2-1 = y^3 <=> a^2 = (y+1)(y^2-y+1) $

Do $a \equiv 1 $ (mod $3$ )

Nên  VP không chia hết cho $3$

Do đó $gcd(y+1;y^2-y+1) = 1 $

Tức là $y+1=b^2 ; y^2-y+1=c^2 $ 

Còn lại thì thay $y=b^2-1$ vào, ta được

$(2b^2-3)^2 +3=4c^2 $

Tới đây phân TH chắc dễ rồi



#7 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 16-10-2016 - 23:58

Chỗ này thiếu r bạn. $gcd\left (3y,y+1 \right)=1$ hoặc $gcd\left (3y,y+1 \right)=3 $ chứ

Nếu $gcd\left (3y,y+1 \right)=3$ thì $(3x+4)^2 \not\vdots 3$, còn $(y+1)(y^2-y+1) \vdots 3$ nên vô lý

Mình có ghi ở trên là $3|y$ rồi nên hiển nhiên là $gcd(y+1,3)=1$ do $y+1$ chia 3 dư 1 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh