Đến nội dung

Hình ảnh

BT BĐT trong tài liệu chuyên toán đại số 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

[attachment=29532:Capture.PNG]

[attachment=29533:bdt.PNG]

 

Bài 8 và 23 vẫn chưa có lời giải!!! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long 2001: 20-10-2016 - 19:12


#2
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

Bài 20

Ta sử dụng BĐT cơ bản sau

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

$(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)=9$

$=>$ đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 18-10-2016 - 19:17


#3
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

Bài 20

Ta sử dụng BĐT cơ bản sau

$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

$(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)=9$

$=>$ đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Cảm ơn bạn :D

Cho mình hỏi làm sao để cho công thức toán xuống dòng vậy?

Mọi người ơi,tham gia giải cùng mình nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long 2001: 20-10-2016 - 11:11


#4
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

21.

$(a-b)^{2}\geq 0 \forall a,b   \Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geq ab.\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)\geq (a+b)ab\Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\geq ab(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{c}{abc(a+b+c)}$

 

24.

 

[attachment=29562:qaaa.PNG]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Long 2001: 19-10-2016 - 18:34


#5
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

22.Bổ đề $x^{5}+y^{5}\geq x^{2}y^{2}(x+y)$

$\sum \frac{xy}{x^{5}+y^{5}+xy}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+1}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1$

12. Dễ có $\sum x^{2}y\geq \sum x^{2}y^{2}$

$\prod (1-x^{2})\geq 0 \Leftrightarrow 1+\sum x^{2}y^{2}\geq \sum x^{2}+\prod x^{2}\geq \sum x^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 20-10-2016 - 13:11


#6
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

19.Theo C-S

$VP^{2}\leq 2(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2t^{2})\leq 8$

18.$\Leftrightarrow \sum (x-y)^{2}\geq 0$

17.AM-GM

$\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{\sum x}$

$\sum x +\frac{1}{\sum x}+\frac{8}{\sum x}\geq 2+8=10$

13.$\sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \sqrt{3}(\sum x)$

Ta sẽ chứng minh 

$\sqrt{3}\left ( \sum x \right )^{2}\geq 3\sqrt{3}\left ( \sum xy\right )\Leftrightarrow (\sum x)^{2}\geq 3\left ( \sum xy \right )$



#7
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

19.Theo C-S

$VP^{2}\leq 2(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2t^{2})\leq 8$

18.$\Leftrightarrow \sum (x-y)^{2}\geq 0$

17.AM-GM

$\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{\sum x}$

$\sum x +\frac{1}{\sum x}+\frac{8}{\sum x}\geq 2+8=10$

13.$\sum \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \sqrt{3}(\sum x)$

Ta sẽ chứng minh 

$\sqrt{3}\left ( \sum x \right )^{2}\geq 3\sqrt{3}\left ( \sum xy\right )\Leftrightarrow (\sum x)^{2}\geq 3\left ( \sum xy \right )$

Bạn giải dễ hiểu quá, mình cảm ơn nha!



#8
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

Các bạn cùng tham gia giải Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ (THTT) tại http://diendantoanho...2-tháng-102016/



#9
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2=(6-c)^2=c^2-12c+36 =>36=2(a^2+b^2+c^2)\geq 3c^2-12c+36 =>c^2-4c\leq 0=>0\leq c\leq 4.$



#10
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

attachicon.gifCapture.PNG

attachicon.gifbdt.PNG

 

Bài 8 và 23 vẫn chưa có lời giải!!! 

$\Sigma \frac{a}{1+b^2} =(a+b+c)-\Sigma \frac{ab^2}{1+b^2} \geq 3-\Sigma \frac{ab^2}{2b} =3-\Sigma \frac{ab}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ (vì $3ab+3ac+3bc \leq  (a+b+c)^2=9$ ) 
 


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#11
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

attachicon.gifCapture.PNG

attachicon.gifbdt.PNG

 

Bài 8 và 23 vẫn chưa có lời giải!!! 

Ta có $\sum \frac{a}{a^2+1} \leq \sum \frac{a}{2a} =\frac{3}{2}$


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#12
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

attachicon.gifCapture.PNG

attachicon.gifbdt.PNG

 

Bài 8 và 23 vẫn chưa có lời giải!!! 

Bài 13 áp dùng bất đẳng thức $z^2+y^2+yz \geq \frac{3(z+y)^2}{4}$
Ta có $VP \geq \frac{xy+yz+xz}{\sqrt{3}(x+y+z)}$
vậy ta chỉ cần chứng minh 
$(x+y+z)^2 \geq 3(xz+yz+xz)$( Đây là bất đẳng thức cơ bản )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 21-10-2016 - 18:02

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#13
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

attachicon.gifCapture.PNG

attachicon.gifbdt.PNG

 

Bài 8 và 23 vẫn chưa có lời giải!!! 

#1
Chuẩn hóa $abc=1$ 
ta có $\frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \frac{a+b+c^4}{(a^2+b^2+c^2)} $
cần chứng minh  $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 2(a+b+c)+a^4+b^4+c^4$
<=> $ \sum (ab)^2 \geq \sum a$
ta lại có $(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2 \geq abc(a+b+c)=a+b+c$ dpcm


 


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#14
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

Một cách khác cho bài 8

Ta sẽ vận dụng hệ thức Viete :)

$b+c=6-a$

Thay vào pt số 2 ta được

$a^2+(b+c)^2-2bc=18$

$<=> bc=(a-3)^2$

Như vậy b,c sẽ là nghiệm của pt

$X^2-(6-a)X+(a-3)^2=0$

$\Delta = -a^2+4a \geq 0$

$=>0 \leq a \leq 4$

Còn lại xin nhường chủ thớt :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 21-10-2016 - 18:35


#15
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

#1
Chuẩn hóa $abc=1$ 
ta có $\frac{1}{a^3+b^3+1} \leq \frac{a+b+c^4}{(a^2+b^2+c^2)} $
cần chứng minh  $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 2(a+b+c)+a^4+b^4+c^4$
<=> $ \sum (ab)^2 \geq \sum a$
ta lại có $(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2 \geq abc(a+b+c)=a+b+c$ dpcm


 

Mình không hiểu lắm, bạn giải thích kĩ hơn được không?  :icon6: À chuẩn hóa là gì vậy bạn?



#16
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Mình không hiểu lắm, bạn giải thích kĩ hơn được không?  :icon6: À chuẩn hóa là gì vậy bạn?

đặt $abc=k^3$  đặt $a'=\frac{a}{k}$, $b'=\frac{b}{k}$,$c'=\frac{c}{k}$ => $a'b'c'=1$
Ta có $\sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{abc}$
<=> $\sum \frac{1}{k^3(a'^3+b'^3+a'b'c')} \leq \frac{1}{k^3a'b'c'}$
<=>$\sum \frac{1}{a'^3+b'^3+a'b'c'} \leq \frac{1}{a'b'c'} $
vậy từ bài toán cũ ta có thể đứa thêm điều kiện $abc=1$ mả không làm thay đổi bản chất của bất đẳng thức
Khái niệm chuẩn hóa bạn có thể tìm ở trên diễn đàng viết khá hay 
#
chuẩn hóa $abc=1$
ta có bdt viết lại thành 
$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$
$\sum \frac{a+b+c^4}{(a^3+b^3+1)(a+b+c^4)} \leq \sum \frac{a+b+c^4}{(\sqrt{a^4}+\sqrt{b^4}+\sqrt{c^4})^2} \leq \frac{2(a+b+c)+a^4+b^4+c^4}{(a^2+b^2+c^2)^2}$ 
vậy ta cần chứng minh $\frac{2(a+b+c)+a^4+b^4+c^4}{(a^2+b^2+c^2)^2} \leq 1$
$\Leftrightarrow 2(a+b+c) \leq 2((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)$
$\Leftrightarrow .....$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 22-10-2016 - 10:10

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh