Đến nội dung

Hình ảnh

$n_{min}$ thỏa tất hệ số $P(x)=(x^2-3x+3)(x+1)^n$ dương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho đa thức $P(x)=(x^2-3x+3)(x+1)^n$.

Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho đa thức $P(x)$ có tất cả hệ số đều dương.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Hy vọng là giải đúng  :D

Bài này đề đúng phải phát biểu là: Chứng minh rằng kể từ một chỉ số nguyên dương $n$ nào đó thì mọi hệ số của đa thức $(x^2-3x+3)(x+1)^n$ đều là số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của  chỉ số nguyên dương $n$ này.

 

 

Ta thử $1$ vài giá trị $n$ đầu tiên để tạo đà:

 

* $n=1$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $x^2$ trong khai triển $ (x^2 - 3x+3)(x+1)$ là $ -2 <0$

 

* $ n =2$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $x^3$ trong khai triển $ (x^2 - 3x+3)(x^2+ 2x+1)$ là $ -1 <0$

 

* $ n = 3$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^4 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x^3+ 3x^2 +3x+1)$ là $0$
Vậy rõ ràng là $n \ge 4$

 

Khi $n \geq 4$ thì do $P(x)$ là đa thức bậc $n+2$ và: $ [x^{n+2}] P(x) = 1 >0$, $  [x^{n+1}] P(x) = n-3 >0$, $ [x^1] P(x) = 3n-3 >0$, $ [x^0] P(x) = 3 >0$

 

Nên ta chỉ cần xét các hệ số của $x^k$ với $ 2 \leq k \leq n$

 

$ [x^{k}] P(x) = \binom{n}{k-2} - 3 \binom{n}{k-1} + 3 \binom{n}{k}$

 

$ = \frac{n!}{ (k-2)! \cdot (n-k+2)!}  - \frac{3n!}{ (k-1)! \cdot (n-k+1)!} + \frac{3n!}{ k! \cdot (n-k)!}  $

 

$ = \frac{n!}{ k! \cdot (n-k+2)!}  \cdot \left( k(k-1) -3k(n-k+2) + 3(n-k+1)(n-k+2) \right)$ 

 

$ = \frac{n!}{ k! \cdot (n-k+2)!}  \cdot \left( 7k^2 -(9n+16)k + (3n^2+9n+6) \right)$ 

 

Xét tam thức bậc $2$  : $Q(k) = 7k^2 -(9n+16)k + (3n^2+9n+6)$

 

Ta có $ \Delta = (9n+16)^2 - 28(3n^2+9n+6) = -3n^2 + 36n+ 88 = -3(n-6)^2 + 196 < 0$ với mọi $n \geq 15$

 

Mà $Q(k)$ là tam thức bậc $2$ ẩn $k$ có hệ số của $k^2$ là $7>0$ , suy ra nếu $n \geq 15$ thì $Q(k) >0$ với mọi $k \in \mathbb{R}$

Từ đây suy ra với $n \geq 15$ thì  mọi hệ số của $ P(x)$ đều là số nguyên dương.

 

Do đó, khẳng định thứ nhất của bài toán đã được chứng minh.

 

Để tìm giá trị $n$ nhỏ nhất thỏa bài toán thì ta chỉ cần thử trực tiếp từ $4$ đến $14$. Quá trình này không khó, tạm thời đi ngủ để tối nay chờ MU xuống hạng.

 

Tiếp tục: MU thắng nhưng sau mùa này nhiều khả năng vẫn xuống giải hạng nhất.
 
* $ n = 4$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^3 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x^4+ 4x^3+6x^2 +4x+1)$ là $4- 18+ 12 = -2 < 0$

 

* $ n = 5$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^4 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^5$ là $ \binom{5}{2} - 3 \binom{5}{3} + 3 \binom{5}{4} = -5 <0$

 

* $ n = 6$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^5 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^6$ là $ \binom{6}{3} - 3 \binom{6}{4} + 3 \binom{6}{5} = -7 <0$

 

* $ n = 7$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^6 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^7$ là $ \binom{7}{4} - 3 \binom{7}{5} + 3 \binom{7}{6} = -7 <0$

 

* $ n = 8$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^7 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^8$ là $ \binom{8}{5} - 3 \binom{8}{6} + 3 \binom{8}{7} = -4 <0$

 

* $ n = 9$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^7 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^9$ là $ \binom{9}{5} - 3 \binom{9}{6} + 3 \binom{9}{7} = -18 <0$

 

* $ n = 10$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^8 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{10}$ là $ \binom{10}{6} - 3 \binom{10}{7} + 3 \binom{10}{8} = -15 <0$

 

* $ n = 11$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^8 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{11}$ là $ \binom{11}{6} - 3 \binom{11}{7} + 3 \binom{11}{8} = -33 <0$

 

* $n = 12$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^9 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{12}$ là $ \binom{12}{7} - 3 \binom{12}{8} + 3 \binom{12}{9} = -33 <0$

 

* $ n = 13$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^9 $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{13}$ là $ \binom{13}{7} - 3 \binom{13}{8} + 3 \binom{13}{9} = 0$

 

* $ n = 14$ không thỏa mãn đề bài do hệ số của $ x^{10} $ trong khai triển  $ (x^2 - 3x+3)(x+1)^{14}$ là $ \binom{14}{8} - 3 \binom{14}{9} + 3 \binom{14}{10} = 0$

 

Do đó $ n_{ \min} = 15$ và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-10-2021 - 11:40

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh