Đến nội dung

Hình ảnh

Tuyển chọn những bài toán hay trong đề thi HSG

* * * * - 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 172 trả lời

#1
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 1

 

Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$
                      2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$
Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.
Câu 3: (4.0đ) 
   1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.
   2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.
Câu 4: (3.5đ) 
   Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.
Câu 5: (3.0đ)
   Cho tập hợp A có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:
 + Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$;
 + Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.
  Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi.
  Tìm số phần tử của tập A trong mỗi trường hợp sau:
 1) Biết $M-m=15$.
 2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.


---------- HẾT ----------



  •  

#2
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 2

Câu 1:
 
Cho $q> 0$ và phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình


$2ax^{2}+\left ( q^{\sqrt{2}}+q^{-\sqrt{2}} \right )bx+\left ( q^{2}+q^{-2} \right )c=0$

có nghiệm.
 
Câu 2:
 
Xét dãy số $x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=1, x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, x_{4}=\sqrt{x_{2}x_{3}}, x_{5}=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}, x_{6}=\sqrt{x_{4}.x_{5}}, ...$
Tính $lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}$.
 
Câu 3:
Cho tứ giác lồi $ABCD$.
1. Giả sử các góc trong $A, B, C$ không nhọn. Chứng minh rằng: $AC\leq BD$.
2. Giả sử tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Chứng minh rằng:

$\left | AB-CD \right |+\left | AD-BC \right |\geq 2\left | AC-BD \right |$.

 
Câu 4: 
 
Cho $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z\leq 4$. Tìm giá trị lớn nhất của

$M=3x^{3}+2y^{3}+z^{3}$.



  •  

#3
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 3

 

Câu 1 (2,5đ)
a) Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+3(m+1)x+2$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $4$.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $a$, đường thẳng $d:y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} \ \ (H)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(H)$ tại $A,B$. Tìm $a$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.
 
Câu 2 (2,0 đ)
a) Giải phương trình: $2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1 = 3 \left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)$
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b \leq c$.
 
Câu 3 (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10\\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x\end{matrix}\right.$$
 
Câu 4 (1,5đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.
 
Câu 5 (1,5đ) 
Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{5}, SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$ và khoảng cách giữa $SM,CD$.
 
Câu 6 (1,0đ)
Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: 
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$



  •  

#4
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 4

 
Câu 1
Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}y+\sqrt{x}=3\\ 2x^{2}y\left ( 1+\sqrt{4y^{2}+1} \right )=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

 

Câu 2
Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn


$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y f\left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$

 

Câu 3
Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng qua $P$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CA$ theo thứ tự tại $I,G,K$. Chứng minh rằng $I,G,K$ thẳng hàng
 
Câu 4
Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình


$3^{x-1}+1=2^{y}$

 

Câu 5
Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$
Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất


$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTTK: 25-10-2016 - 13:46


  •  

#5
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 5

 

Câu 1
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn

 

$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$

 

Câu 2
Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$
Tìm giới hạn $\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$
 
Câu 3
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$. Từ $P$ vẽ hai tiếp tuyến $PC,PD$ lần lượt tới $(O)$ và $(O')$ ($C,D$ là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung $MN$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ với $M\in \left ( O \right )$ và $N \in \left ( O' \right )$. 
Chứng minh ba đường thẳng $AB,CM,DN$ đồng quy
 
Câu 4
Trong một giải thi đấu thể thao vòng tròn một lượt có $n$ vận động viên $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $\left ( n>1 \right )$ tham gia. Mỗi vận động viên thi đấu với tất cả vận động viên còn lại theo nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt $W_{k}$ và $L_{k}$ là số trận thắng và số trận thua tướng ứng của vận động viên $A_{k}$ với $k=\overline{1;n}$
Chứng minh rằng

 

$\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n}L_{k}^{2}$



  •  

#6
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 6

 

Câu 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=1. CM 
    $\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$

 

Câu 2: Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$

 

Câu 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định
 $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{Ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$
Tìm K nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đềulà số nguyên.

 

Câu 4: Cho ABC laftam giác nhọn có trực tâm H và chân các đường cao vẽ từ B,C theo thứ tự M,N. Gọi P là điểm tùy ý trên cạnh BC, X là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPN, Ý là điểm đối xứng của P qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPM. CM H,X,Y thẳng Hàng.
 



  •  

#7
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 7

 

Bài 1: Gọi N là số nguyên lớn hơn số nguyên tó thứ 2015, CM tồn tại 1 dãy gồm N số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2014 số nguyên tố.

 

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)\epsilon \mathbb{R}$ với hệ số thực sao cho đa thức sau là hằng số
  $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

Bài 3: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Giả sử$\widehat{DAB}=\widehat{BCA};\widehat{DAC}=15^{\circ}$.  CM  góc ADC tù. Hơn nữa nếu O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC, CM AOD là tam giác đều.

 

Bài 4: Cho a,b là 2 số nguyên dương; g,l lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung njor nhất của a,b.
a) CM $g+l\leq ab+1$.Dâus = xẩy khi nào.
b) Giả sử ab>2 và g+l chia hết a+b. CM lúc đó thưng của chúng không vượt quá $\frac{a+b}{4}$.



  •  

#8
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 8

 
Câu 1.
Cho n là số nguyên dương và các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$.
Chứng minh rằng: $(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}).(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})< \frac{1}{(1-x)(1-y)}$
 
Câu 2.
Cho 4028 số thực $a_{1},a_{2},...,a_{2014},b_{1},b_{2},...,b_{2014}$. Xét dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:
$x_{n}=\sum_{i=1}^{2014}\left [ a_{i}.n+b_{i} \right ],(n=1,2,...)$. Biết dãy số $(x_{n})$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}a_{i}$ là số nguyên ( với $\left [ a \right ]$ là phần nguyên của số thực a)
 
Câu 3.
 Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},(n=1,2,...)$,$P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ với $a_{0}$ chẵn và $a_{n-k}+a_{k}$ chẵn, với mọi $k=1,2,...,n-1$. Giả sử $P(x)=Q(x).R(x)$ trong đó $Q(x),R(x)$ là các đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1, bậc của $Q(x)$ bé hơn hoặc bằng bậc của $R(x)$ và tất cả các hệ số của $R(x)$ là lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên.
 
Câu 4.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC$ $\neq$ $BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn.
 
Câu 5.
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn:
$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$
 
Câu 6. Cho $2014$ thùng đừng trái cây, mỗi thùng có đầy đủ ba loại trái cây : Táo, Lê, Cam. Chứng minh rằng có thể chọn ra được $1008$ thùng sao cho: tổng số Táo, tổng số Lê, tổng số Cam trong $1008$ thùng này đều lớn hơn một nửa tống số táo, tổng số Lê, tổng số Cam tương ứng trong $2014$ thùng ban đầu.



  •  

#9
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 9

 

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi D và E lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
Tìm vì trí của điểm K trên AD để 3 điểm B,K,E thẳng hàng

 

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A; BC=a ; CA=b ; AB=c. Xác định vị trí điểm I thỏa mãn hệ thức $b^{2}\overrightarrow{IB}+c^{2}\overrightarrow{IC}-2a^{2}\overrightarrow{IA}=0. Tìm m sao cho biểu thức M= $b^{2}MB^{2}+c^{2}M^{2}-2a^{2}MA^{2}$. Đạt max

 

Câu 3: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó lấy lần lượt các điểm A' ; B'; C' . Gọi Sa, Sb, Sc và S là diện tích tương ứng của tam giác AB'C', BC'A', Ca'B' và ABC, Chứng minh bất đẳng thức $\sqrt{Sa}+\sqrt{Sb}+\sqrt{Sc}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$

 

Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M năm bên trong tứ giác sao cho $\widehat{MAB}=\widehat{MBV}=\widehat{MCD}=\widehat{MDA}=\alpha$
Chứng minh đẳng thức sau: $Cotg\alpha =\frac{AB^{2}+AD^{2}+BC^{2}+CD^{2}}{2AB.BD.Sin\alpha }$

 

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi alpha là số đo goác giữa hai đường trung tuyến BM và Cn của tam giác. Chứng minh rằng $sin\alpha \leq \frac{3}{5}$

 

Câu 6: Cho tam giác ABC có AB =c; BC=a; AC=b. Trung tuyến CM vuông góc với phân giác Al và $\frac{CM}{AL}=\frac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$ . tÍNH b/c và Cos A



  •  

#10
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 10

 

Bài 1. (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\sin 6x+\sin 2x+\sin^3 2x=4(\sin^6x +\cos^6 x)$
b) $(3x+2)\sqrt{2x^2-3}=5x^2+x-6$
 
Bài 2. (3 điểm)
Giải hệ\[\left\{ \begin{array}{l}
16{x^2} + 4xy + {y^2} = 12\\
8{x^2} + 4xy - 28x - 5y =  - 18
\end{array} \right.\] 

Bài 3. (3 điểm)
Cho hai số không âm $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a+b=1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{1+a^{2014}}+\sqrt{1+b^{2014}}$
 
Bài 4. (4 điểm)
Tìm $m$ để phương trình $\sqrt{mx^2+mx+3}=mx+1$ có nghiệm duy nhất.
 
Bài 5. (4 điểm)
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA=2\sqrt{3}$ và hình chiếu $H$ của $A$ lên $(SBC)$ là trực tâm tam giác $SBC$ ($H$ nằm trong tam giác $SBC$). Giả sử góc giữa hai mặt $(HAB)$ và $(ABC)$ có số đo bằng $30^0$, tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
 
Bài 6. (2 điểm)
Với số tự nhiên $n\ge 2$, gọi $a_n$ là hệ số của $x$ trong khai triển nhị thức $(5+\sqrt{x})^n$. Tìm giá trị của $n$ để biểu thức $A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}$ có giá trị bằng $48$.



  •  

#11
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 11

 

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt{3-2\sqrt{3-4sinx}}=2sinx$
 

Câu 2: Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$
 

Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.
 

Câu 4: Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$ của P(x) thỏa mãn: $x_{0}^2 < 2a^2+1$.
 

Cấu 5: Tổ 1 gồm có 7 người nam và 5 người nữ. Trong 7 người nam đó có tổ trưởng tên là A. Thầy chủ nhiệm phân công tổ 1 trực nhật 6 ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực.
1) Có bao nhiêu cách phân công tổ 1 trực nhật một tuần?
2) Một cách phân công trực nhật được gọi là cách phân công “tốt” nếu trong cách phân công đó có A là người trực ngày đầu tiên và có đúng một ngày trong tuần cả hai người trực nhật đều là nam. Lấy ngẫu nhien một cách phân công trực nhật, tìm xác suất lấy được cách phân công “tốt”.
 

Câu 6: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng S. Tia AB và tia DC cắt nhau tại E. Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại F sao cho $\Delta ADE$ nằm về một phía so với d. Các đoạn HF và FK lần lượt là hình chiếu vuông góc của các hình ABCD và BCE trên đường thẳng d. Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAD$ là $(O_1;R_1)$; đường tròn ngoại tiếp $\Delta EBC$ là $(O_2;R_2)$. Biết diện tích $\Delta BCE$ bằng 2S.
1) Chứng minh rằng $\frac{FK}{HF}\le 2+\sqrt {6}$.
2) Chứng minh rằng: nếu $\frac{FK}{HF}=2+\sqrt{6}$ thì $(O_1;R_1)$ và $(O_2;R_2)$ tiếp xúc nhau. Khi đó tính $\frac{R_1}{R_2}$.



  •  

#12
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 12

 

Bài 1: (5 điểm )
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a+b+c$. Chứng ming rằng:
 
$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}$
 
Bài 2: (5 điểm)
 
Cho $(a_n)$ và $(b_n)$ là 2 dãy số thực dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}a_0=1,a_1=\frac{1}{2}\\ 2b_{n+1}=2b_n-a_n\\ b_n=\frac{1}{3}+2a_{n+1}\end{matrix}\right.$.
Đặt $c_n=\frac{1}{2^{n+1}}(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{b_k}{a_k})$ , tính $lim c_n$.
 
Bài 3: (5 điểm)

Gọi B và C lần lượt là hai điểm tùy ý nằm trên các cạnh AP và PD của tam giác nhọn  APD. Gọi Q là giao điểm các đường chéo của tứ  giác ABCD, $H_1,H_2$ lần lượt là trực tâm của tam giác APD và BPC. Gọi X $(X\neq Q)$ là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABQ và CDQ.  Gọi Y $(Y\neq Q)$ là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCQ và ADQ.
 
a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh các điểm X, Y, M, N, Q đồng viên.
b. Chứng minh rằng: Nếu $H_1H_2$ đi qua X thì $H_1H_2$ cũng đi qua Y.
 
Bài 4: (5 điểm)
Trên một bảng đen, ban đầu người ta viết 2015 số tự nhiên phân biệt $0=a_0<a_1<a_2<...<a_{2014}$. Sau đó, người ta viết  tiếp lên bảng tất cả  những số  tự  nhiên $n$ thỏa mãn: $n$ có thể  viết được dưới dạng tổng của $2$ số trong $2015$ số ban đầu (2 số này không nhất thiết phải phân biệt). 
 
Hỏi sau khi viết xong, trên bảng sẽ có ít nhất bao nhiêu số tự nhiên phân biệt, nếu:
a. $a_{2014}=4028$
b. $a_{2014}=4027$



  •  

#13
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 13

 

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt 
 
\[S_n  = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n},T_n  = S_n  - \ln (n) \].
 
a) Chứng minh rằng dãy số $T_n$ có giới hạn hữu hạn.
b) Đặt $C = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } T_n . $ Chứng minh rằng với mọi $p, q$ ta có bất đẳng thức
$$C < Sp + Sq - Spq ≤ 1.$$
 
Bài 2. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z} $ thỏa mãn
$$f\left( {xf(y) + f(x)} \right) = 2f(x) + xy,\,\forall x,y \in \mathbb{Z}$$
 
Bài 3. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD \left( {AB < CD} \right).$ Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD, H$ là hình chiếu của $E$ lên $AD$; $AC$ cắt $BH$ tại $I$, $BD$ cắt $HC$ tại $J$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCD$. Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với $OE$.
 
Bài 4. Tìm tất cả những số nguyên dương $k$ sao cho với $k$ đường thẳng tùy ý trên mặt phẳng, trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy, không có hai đường nào song song, ta đều có thể viết tại mỗi giao điểm một số thuộc $\{ 1, 2, ..., k-1 \}$ để trên mỗi đường thẳng đều có đủ các số từ $1$ đến $k-1$.
  



  •  

#14
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 14

 

Bài 1. Tìm số thực dương $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xyz = 1:$
$$\frac{x}{{xy + 1}} + \frac{y}{{yz + 1}} + \frac{z}{{zx + 1}} + \frac{k}{{\sqrt[3]{{xy^2  + yz^2  + zx^2 }}}} \ge \frac{3}{2} + \frac{k}{{\sqrt[3]{3}}}.$$
 
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB < AC$ và trực tâm $H$. $AH,BH,CH$ lần lượt cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$; $EF$ cắt $BC$ tại $G$. $K$ là hình chiếu của $H$ lên $AG$. $AH$ cắt $EF$ tại $L$. Trung trực $LD$ cắt $GH$ tại $P$. $N$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KGN$ và $DPL$ tiếp xúc nhau.
 
 
Bài 3. Xét tập hợp $S = \{ (x, y) | x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 3 \}$. Chọn ra $9$ phần tử thuộc $S$. Chứng minh rằng trong $9$ phần tử được chọn, tìm được $4$ phần tử $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ sao cho $x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ chia hết cho $4$ và $y_1 + y_2 + y_3 + y_4$ chia hết cho $4$.



  •  

#15
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 15
 
 

Câu 1  (4 điểm). Cho hàm số $\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$
a) Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=2$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết khoảng cách từ $I(1;1)$ đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
 
Câu 2 (3 điểm). Giải phương trình:
$$6\sin 2x - \cos 2x + 6\sin x + 13\cos x + 6=0$$
 
Câu 3 (4 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
$$y=2(1+\sin2x\cos4x) - \frac{1}{2}(\cos4x-\cos8x)$$
 
Câu 4 (6 điểm).  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^o$, hình chiếu của $S$  lên $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $BO$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^o$.
a) Tính thể tích hình chóp $S.ABCD.$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$
c) Tính khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$.
 
Câu 5 (3 điểm). Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3+6x^2+6y^2-32=0\\ x^2+y^2+4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$



  •  

#16
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 16

 

Câu 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2} (y+1)(x+y+1)=3x^{2}-4x+1& \\xy+x+1=x^{2} & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+x=1. Cmr: $\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\leq 1$

 

Câu 3: Giải pt: $\sqrt{2x-5}+\sqrt{x+2}=\sqrt{2x+1}$

 

Câu 4: Trong mặt phẳng cho$\widehat{xOy}=60^{\circ}$. M, N là hai điểm lần lượt thay đổi trên hai tia Ox và Oy sao cho $\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}=\frac{2013}{2014}$. Cm đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.

 

Câu 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt: 
$(x+1)(x+2)(x+8)(x+9)=y^{2}$

 

Câu 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R). Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB cắt EF tại I. Cmr: 
$EI^{2}(EO^{2}+FO^{2}-2R^{2})=(EO^{2}-R^{2})$ và OI vuông góc với EF

 

Câu 7: Trên bảng cho 2014 số 1, 2, 3, 4,...., 2013, 2014. Người ta thay hai số bất kì bằng một số hoặc bằng hiệu hoặc bằng tổng hai số đó. Cmr sau 2013 lần thực hiện thao tác trên, chỉ còn lại 1 số trên bảng không thể là số 0.



  •  

#17
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 17

 

 

Câu 1 Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 2}}$ có đồ thị là $(C)$.

  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
  • Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB = IB.\sqrt 2$ với $I(2;2)$.

Câu 2  

  • Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

$$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {2y + 1}  = \frac{{{{(x - y)}^2}}}{2} \\  (x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4 \\  \end{array} \right.$$

  • Giải phương trình sau trên tập số thực

$$\frac{{\sin 2x + 3\tan 2x + \sin 4x}}{{\tan 2x - \sin 2x}} = 2.$$
 

Câu 3

  • Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(5; - 7)$, điểm $C$ nằm trên đường thẳng có phương trình: $x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua đỉnh $D$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình: $3x - 4y - 23 = 0$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$ biết điểm $B$ có hoành độ dương.
  • Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Gọi $P, Q$ lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ $AB$ và $AC$ sao cho các điểm $P, Q, O$ thẳng hàng. Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên các đường thẳng $BC, AB$. Gọi $D’, E’$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên các đường thẳng $BC, AC$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE$ và $D’E’$. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $KDD’$ theo $R$.

 
 Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng đáy bằng [TEX]{60^0}[/TEX]. 

  •  Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
  •  Tính khoảng cách giữa $SA$ và $BD$ theo $a$.

 
Câu 5  Cho $a, b, c$ là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
$$P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 1} }} - \frac{2}{{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}}.$$
 
Câu 6 Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định:
$$\left\{ \begin{array}{l}  {u_1} = \frac{2}{{2013}} \\  u_n^2.(2 - 9{u_{n + 1}}) = 2{u_{n + 1}}(2 - 5{u_n}),\forall n \ge 1 \\  \end{array} \right.$$
Xét dãy số ${v_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - {u_1}}} + \dfrac{{{u_2}}}{{1 - {u_2}}} + ... + \dfrac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}$. Tìm $\lim {v_n}$.



  •  

#18
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 18

 

Bài 1. (5đ)
1. Giải bất phương trình: $x^3-3x^2+2\sqrt{(x+3)^3}-9x\geq 0$
2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 
$\sqrt{(m-2)x+m}\geq |x-1|$ có nghiệm trên $[-2;3]$
Bài 2. (5đ)
1. Cho a,b là 2 số thỏa điều kiện: $a^2+b^2+9=6a+2b$. Chứng minh $4b\leq 3a$
2. Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $u_1=1,u_2=2,u_{n+2}=\frac{2}{3}u_{n+1}+\frac{1}{3}u_n$ với $n\in \mathbb{N},n>0$.
  Tìm $u_n$
Bài 3. (7đ)
1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=a;BC=\frac{a}{2};AD=a\sqrt{3};\widehat{DAB}=\widehat{DAC}=30^{\circ}$. 
Tính $d(AD;BC);V_{ABCD}$
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $M(2;3)$. Đường thẳng $d$ qua $M$ có hệ số góc âm, $d$ cắt trục hoàng tại $A$, trục tung tại $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S_{OAB}$
Bài 4. (3đ)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2x^3+2y^2+y+1=0\\ 2y^3+2z^2+z+1=0 \\ 2z^3+2x^2+x+1=0 \end{matrix}\right.$



  •  

#19
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 19

 

 

Bài 1: Giải hệ phương trình



$$\begin{cases}\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+xy+2x^ 2}=2(x+y)\\ (8y-6)\sqrt{x-1}=(2+\sqrt{x+2})(y+4\sqrt{y-2}+3)\end{cases}.$$
 

Bài 2: Cho $2014$ số thực dương $a_1,a_2,...,a_{2014}$ có tổng bằng $2014$. Chứng minh rằng
 


$$\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+\frac{a_2^{20}}{a_3^{1 1}}+...+\frac{a_{2014}^{20}}{a_1^{11}}\geq 2014.$$
 

Bài 3: Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_0>0$ và
 


$$u_n=\frac{9}{10}u_{n-1}+\frac{1007}{5u_{n-1}^9},\forall n\geq 1.$$
 

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
 
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa
 


$$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x,\forall x\in\mathbb{R}.$$
 

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2+y^2+z^2=x^2y^2z^2.$
 
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $H,M$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt đoạn $AH$ tại $D$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đoạn $BM$ tại $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $AK$ và $BD$, $E$ là giao điểm của $CI$ với $BM$. Chứng minh
Tam giác $AKC$ vuông.
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABE$.



  •  

#20
LTTK

LTTK

    Sĩ quan

  • Banned
  • 381 Bài viết

ĐỀ SỐ 20

 

Câu 1 (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$
$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).
 
Câu 2  (4,0 điểm).
Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}  &  & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4}  &  &  \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).
1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.
2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.
 
Câu 3 (2,0 điểm).
Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$
 
Câu 4 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. 
Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.
 
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a,SB=3a,SC=4a, \widehat{ASB}=\widehat{SAC}=90^o, \widehat{BSC}=120^o$.
Hai điểm $M,N$ thỏa mãn $3\overrightarrow{SM}=2\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SN}$.
1. Chứng minh tam giác $AMN$ vuông. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.
2. Cho hai điểm $E$ và $F$ thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng $AB$ và $SC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $EF$.
 
Câu 6 (4,0 điểm).
1. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}u_1=1;u_2=3  &  & \\ u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}~~(\forall n\in \mathbb{N}, n\ge 2)  &  &  \end{matrix}\right.$
Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty } S_n$ với $S_n=\sum _{i=1}^n \frac{1}{u_i}$
2. Cho số thực $x$ thay đổi lớn hơn $0$. Chứng minh rằng: $e^x+e^{-\frac{1}{x}}>2+x-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}$
 
Câu 7 (1,0 điểm).
Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3<2014  &  & \\ 1\le x_i\le 1007, \forall i\in \left \{ 1;2;3 \right \}  &  &  \end{matrix}\right.$



  •  




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh