Chủ đề này có 172 trả lời

[LTTK]

ĐỀ SỐ 157

 

Bài 1:Giải phương trình: $x^2+1+\sqrt{\frac{(x^2-1)(2-x)}{x}}=\frac{4}{x}$
 

Bài 2: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\(x-2)log_{3}(x)+ylog_{3}(y)=x+1  \end{matrix}\right.$
 

Bài 3: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+\frac{3}{2}=2(x+y)$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$P=\frac{6-2(x-1)(y-1)}{(x-1)^2+(y-1)^2}$
 

Bài 4: Tìm $m$ để phương trình $m(sin2x+1)+1=(m-3)(sin x+cos x)$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn $[0;\frac{\pi}{2}]$
 

Bài 5: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ biết $AB=2,CD=2\sqrt{3},\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90^0$ và góc giữa $AD$ và $BC$ bằng $30^0$.
 

Bài 6: Trong một buổi tọa đàm về "Tình yêu tuổi học đường" tại lớp $12A$, có tất cả $21$ bạn tham gia và có $4$ cặp có tình cảm với nhau( không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra $5$ bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất $1$ cặp tình cảm với nhau

[LTTK]

ĐỀ SỐ 158

 

Bài $1$: Cho $2$ dãy số đc xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} & x_{1}=y_{1}=\sqrt{3} & \\ & x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^2} & \\ & y_{n+1}=\frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^2}} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\geq 1$
$a)$ CMR: $x_{n}y_{n}\in (2;3)$ $\forall n\geq 2$ 
$b)$ Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} y_{n}$
 
Bài $2$: Cho $a,b,c\geq 0$. Tìm min của: $P=\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}$
 

Bài $3$: Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$ Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. $A_{1},A_{2};B_{1},B_{2};C_{1},C_{2}$ lần lượt là giao của $YZ,ZX,XY$ với $(O)$. CMR: $I$ là tâm đẳng phương của $3$ đường tròn $(DA_{1}A_{2}),(EB_{1}B_{2}),(FC_{1}C_{2})$
 

Bài $4$: Cho $P,Q,R$ là $3$ đa thức hệ số thực thỏa mãn: $P(Q(x))+P(R(x))=c$ $\forall x\in\mathbb{R}$ với $c=const\in\mathbb{R}$
CMR: $P(x)\equiv const$ hoặc $[Q(x)+R(x)]\equiv const$
 

Bài $5$: Gọi $A$ là tập các bộ $(x_{1},x_{2},x_{3})$ với $x_{1},x_{2},x_{3}\in$ {$0;1;2;...;7$}. Bộ $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in A$ gọi là trội hơn bộ $y=(y_{1},y_{2},y_{3})\in A$ nếu $x\neq y$ và $x_{i}\geq y_{i}$ $\forall i=1;2;3$. Khi đó ta viết $x>y$. Tìm $n_{min}\in\mathbb{N^{*}}$ sao cho mọi tập con có $n$ ptử của $A$ đều chứa ít nhất $2$ bộ $x>y$

[LTTK]

ĐỀ SÔ 159

 

Câu 1. 
  1. Giải hệ phương trình với $x\geq 0$
                                      $\left\{\begin{matrix} 2x-2y+\sqrt{2x+y+2xy+1}=1 & & \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^{3}-4x-1& & \end{matrix}\right.$
  2. Cho $a,b,c> 0, abc=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của
                                      $\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$
 

Câu 2. Một nhóm gồm $6$ học sinh làm  kiểm tra trong 2 ngày. Ngày thứ nhất, giáo viên phát $6$ đề khác nhau cho $6$ học sinh. Ngày thứ 2, giáo viên phát $6$ đề đó cho $6$ học sinh sao cho không học sinh nào nhận trùng với đề được phát ngày hôm trước. Hỏi có bao nhiêu cách phát như thế trong cả hai ngày.
 

Câu 3.
  1. Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn
                                        $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & & \\ u_{n+1}=\frac{1+u_{n}}{1-u_{n}}, n\in \mathbb{N}^{*}& & \end{matrix}\right.$
                                       Tính $S_{2016}=u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}$
  2. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 
                                         $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$
   Tìm $f(n)$, $\forall n\in \mathbb{N}$
 

Câu 4. 
  Cho 2 đường tròn $(O), (O')$ cắt nhau tại $A,B$. trên tia $BA$ lấy $M$ ($M$ nằm ngoài $(O')$). Từ $M$  Kẻ 2 tiếp tuyến $MC, MD$ của $(O')$ ($C,D$ là 2 tiếp điểm). $AC,AD$ lần lượt cắt $(O)$ tại $P,Q$.
  a. Chứng minh $\frac{DA}{DQ}=\frac{CA}{CQ}$.
  b. Chứng minh $C$  đi qua trung điểm $PQ$
  c. Chứng minh $CD$ đi qua một điểm cố định khi $M$ di chuyển trên  tia $BA$.

[LTTK]

ĐỀ SỐ 160

 

Câu 1 (4,0 điểm)
 
Cho $a$ và $b$ là hai số thực thuộc khoảng $(0;1)$ . Dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:
 
$$\left\{\begin{matrix} u_0=a & & & \\ u_1=b & & & \\ u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u_{n+1}^4+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}\forall n \in N & & & \end{matrix}\right.$$
 
Chứng minh rằng: dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.Tìm giới hạn đó
 
Câu 2 (4,0 điểm).Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0;+\infty \right )\rightarrow \left ( 0;+\infty \right )$ thỏa mãn:
 
$$f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=\frac{9}{xf\left ( x \right )}+\frac{2}{f\left ( x \right )}-1\forall x>0$$
 
Câu 3 (4,0 điểm)
 
Giả sử $q$ là một số nguyên tố , dãy $(u_n)$ được xây dựng như sau:
 
$$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & & & \\ u_1=1 & & & \\ u_n=2u_{n-1}-qu_{n-2}\forall n\geq 2,n \in \mathbb{N} & & & \end{matrix}\right.$$
 
Tìm $q$ , biết tồn tại số tự nhiên $k$ để $u_{3k}=-3$
 
Câu 4 (4,0 điểm)
 
Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn $BC$ (không trùng với $B$ và $C$ ).Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$ khác $A$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$ khác $A$
 
a)Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng $BF$ và $CE$ luôn di chuyển trên một đường cố định khi $D$ di động trên đoạn $BC$
 
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm cố định
 
Câu 5 (4,0 điểm)
 
a)Có $2016$ là thư khác nhau và $2016$ phong bì ghi sẵn địa chỉ khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách cho mỗi lá thư vào một phong bì sao cho có ít nhất một lá thư được ghi đúng địa chỉ?
 
b)Có bao nhiêu cách lát đường đi hình chữ nhật kích thước $3\times 2n$ ($n$ là số nguyên dương) bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước $1 \times 2$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 161

 

Bài $1$: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm max của bt: $P=\sum\frac{1}{x^2+2y^2+3}$
 

Bài $2$: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ đơn điệu trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
                    $f(x^3+f(y))=f^3(x)+y$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$
Bài $3$: Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $I$ là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AC$ tại $E$ và cắt $(O)$ tại $H$ $(E,H\neq C)$
$a)$ CMR: $EH$ đi qua trung điểm của $AI$ 
$b)$ Đường tròn đi qua $B$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ cắt $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại $G$ $(G,F\neq B)$. CMR: $2$ đường tròn $(EIF)$ và $(GIH)$ tiếp xúc nhau
 

Bài $4$: Cho đa thức $P(x)=4x^3-18x^2+27x+m$. CMR: Với mỗi $m\in\mathbb{Z}$, $\exists n\in\mathbb{Z}$ sao cho $P(n)\vdots 107$

Bài $5$: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} & u_{1}=-\frac{1}{3} & \\ & u_{n+1}+1=\frac{u_{n}+1}{\sqrt{u_{n}^2+1}} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$
$a)$ CMR: $u_{n+1}+1<\frac{3(u_{n}+1)}{\sqrt{10}}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$
$b)$ CMR: Dãy $(u_{n})$ hội tụ. Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} u_{n}$
 

Bài $6$: Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau ttai5 $H$ $(D\in BC,E\in CA,F\in AB)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $2$ đường tròn $(DEF)$ và $(HBC)$ cắt nhau tại $X$ và $Y$
$a)$ CMR: $AX=AY$
$b)$ Gọi $R$ là trung điểm của $XY$. $AR$ cắt $HM$ tại $S$. CMR: Tứ giác $HDSR$ nội tiếp
 

Bài $7$: Cho tập $M_{n}=$ {$1;2;...;n$} $(n\in\mathbb{N^{*}})$ 
$a)$ Gọi $X$ là $1$ tập con của $M_{15}$ sao cho tích của $3$ ptử bất kỳ của $X$ ko phải số chính phương. Tìm max $\mid X\mid$
$b)$ Gọi $Y$ là $1$ tập con gồm có $15$ ptử của tập $M_{25}$. Tập $I'$ gọi là tập "tốt" nếu như ko tồn tại $2$ ptử nào mà tích của chúng là số chính phương. Tính số tất cả các tập "tốt"

[LTTK]

ĐỀ SỐ 162

 

Bài 1 (4 điểm). Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
\[\dfrac{1}{\left(1+a\right)^3}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(1+c\right)^3}+\dfrac{3}{32}\left(ab+bc+ca\right)\geqslant \dfrac{21}{32}\]
 
Bài 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm $f(x)$ xác định trên tập hợp số thực và nhận giá trị thực, sao cho với mọi $x$, $y$ thực ta có:
\[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)\]
 
Bài 3 (4 điểm). Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn. Một đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$, cắt đường thẳng $CD$ tại $F$. Gọi $I_1$, $I_2$ và $I_3$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABE$, $ECF$ và $FAD$. Chứng minh rằng đường thẳng $\Delta$ đi qua trực tâm của tam giác $I_1I_2I_3$.
 
Bài 4 (4 điểm). Tô màu luân phiên các đỉnh của $2n$-giác lồi bởi hai màu đỏ và xanh. Xét tất cả các đường chéo của đa giác mà hai đầu mút khác màu. Tìm số giao điểm lớn nhất nằm trong đa giác của tất cả các đường chéo đó.
 
Bài 5 (4 điểm). Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương thoả mãn $xyz\geqslant 1$ và $z\leqslant 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[F=\dfrac{x}{1+y}+\dfrac{y}{1+x}+\dfrac{4-z^3}{3\left(1+xy\right)}\]

[LTTK]

ĐỀ SỐ 163

 

Bài 1. Tìm điều kiện của m sao cho phương trình :
$$x+m=2\sqrt{x+3}$$
có nghiệm.
 

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho tích mỗi chữ số của chúng bằng $3500$.
 

Bài 3. Cho góc vuông $xOy$, điểm $A$ khác $O$ cố định trên tia phân giác $Om$ của góc ấy. Đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A$ và $O$ cắt hai tia $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $M$ và $N$:
a) Chứng minh khi đường tròn $(C)$ thay đổi thì $OM+ON$ không đổi.
b) Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.
 

Bài 4. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2a+3b+4c=1$. Chứng minh rằng:
$$2\sqrt{2a+1}+3\sqrt{2b+1}+4\sqrt{2c+1}<10$$
 

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$$f(x^2-y)=xf(x)-f(y).$$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 164

 

 

Câu 1
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
$3x^2 + 11x - 1 = 13\sqrt {2x^3 + 2x^2 + x - 1}$

Câu 2
Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị ©.
1. Gọi M là một điểm thuộc © có hoành độ $x_0 \ne 0$ . Chứng minh tiếp tuyến của © tại M luôn cắt © tại một điểm $M_1$ khác M. Xác định hoành độ của $M_1$
2. Cho A, B, C là 3 điểm phân biệt, thẳng hàng, có hoành độ khác 0 và cùng thuộc ©. Tiếp tuyến của © tại A, B, C cắt © lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$ đôi một khác nhau. Chứng minh ba điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng.

Câu 3
1. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x^3 } - \dfrac{3}{2}x$ trên khoảng $\left( {0, + \infty } \right)$.
2. Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ .
 

Câu 4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $ (T) $đi qua hai điểm $A(6;-1), B(2,3)$ và tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):\left( {x - 5} \right)^2 + \left( {y - 3} \right)^2 = 1$

Câu 5
Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 1 \right) = 2010 \\ \left( {x - y} \right)P\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)P\left( {x - y} \right) = 4xy\left( {x^2 - y^2 } \right),\forall x,y \in R \\ \end{array} \right.$

Câu 6
Cho hình chóp S.ABC. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là các điểm di động trên các cạnh SA, SB, SC sao cho: $\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 4.$
1. Chứng minh mặt phẳng $(A'B'C')$ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Xác định vị trí của $A',B'$ và $C'$ để thể tích khối đa diện $ABCC'B'A'$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 7
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn
$x^2 + 15y^2 + 8xy - 8x - 36y - 28 = 0.$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 165

 

Câu 1 :
a)     Cho hàm số $y = 2{x^4} - {m^2}{x^2} + {m^2} + 2016\,\,\,\,\,(C)$  ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C ) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho bốn điềm O,A,B,C là bốn đỉnh của một hình thoi ( Vối O là gốc tọa độ).
b)     Giải hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 6{y^2} + 2(x - 7y) + 12 = 0\\\sqrt {3 - x}  + \sqrt {y - 3}  = {x^2} + {y^2} - 10x - 5y + 22\end{array} \right.(x;y \in \mathbb{R} )$
 

Câu 2:
a) Cho khai triển ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ . Xác định hệ số ${a_6}$ biết rằng ${(1 - 2x + {x^3})^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... +  + {a_{3n}}{x^{3n}}$ 
b) Cho phương trình:${x^5} - \frac{1}{2}{x^4} - 5{x^3} + {x^2} + 4x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
            b1) Chứng minh rằng phương trình (*) có đúng 5 nghiệm phân biệt.
            b2) Với ${x_i}\,\,(i = \overline {1,5} )$ là nghiệm của phương trình (*), tính tổng S biết:                $S = \sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{{{x_i} + 1}}{{2x_{_i}^5 - x_i^4 - 2}}} $
 

Câu 3: Cho đường tròn $({O_1}),({O_2})$  tiếp xúc ngoài tại điểm T. Một đường thẳng cắt đường tròn $({O_1})$  tại hai điểm A,B phân biệt và tiếp xúc với $({O_2})$   tại  X. đường thẳng XT cắt $({O_1})$  Tại S ( S khác T và C là một điểm trên cung TS không chứa A và B. Cho CY là tiếp tuyến của $({O_2})$   tại Y sao cho các đoạn thẳng CY và ST không cắt nhau. Cho I là giao điển của các đường thẳng XY và SC. Chứng minh rằng:
a) C,T,Y và I cùng thuộc một đường tròn.
b) SA= SI
 
Câu 4:  Cho $a,b,c$  là các số thực dương  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{{1344}}{{a + \sqrt {ab}  + \sqrt[3]{{abc}}}} - \frac{{2016}}{{\sqrt {a + b + c} }}$
 

Câu 5: Cho p là số nguyên tố lẻ và $T = \sum\limits_{k = 0}^p {C_p^kC_{p + k}^k}  - ({2^p} + 1)$. Chứng minh rằng T chia hết cho ${p^2}$ .

[LTTK]

ĐỀ SỐ 166

 

Bài 1: Cho các số thực $x_0,x_1,...,x_{n+1}$ thỏa mãn điều kiện:
$(i)\text{   } 0=x+0<x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}=1$.
$(ii)\text{   }\sum_{j=0,j\ne i}^{n+1}\frac{1}{x_i-x_j}=0,i=1,2,...,n $.
Chứng minh rằng: $x_{n+1-i}=1-x_i,i=1,2,...,n$.
 

Bài 2: Cho số nguyên dương $n$, giả sử $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ là hai hoán vị của dãy $(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n})$ thỏa mãn điều kiện: $a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge ...\ge a_n+b_n(*)$.
a) Chứng minh: $a_k+b_k<\frac{k}{4},k=1,2,...,n$.
b) Chứng minh rằng với mỗi số $c>1$ luôn tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho có hai hoán vị $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ của $(1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n})$ thỏa $(*)$ và $a_n+b_n>\frac{4-c}{n}$.
 

Bài 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(sin(x))=Q(x),\forall x\in [0;1]$  
 

Bài 4: Chứng minh rằng từ $19$ số tự nhiên tùy ý, luôn tìm được $2$ số sao cho hiệu các bình phương của chúng chia hết cho $36$.
 

Bài 5: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$

[LTTK]

ĐỀ SỐ 167

 

Câu 1: 
Cho đa thức $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1<x_2<x_3$.
Hai số thực m,n thỏa mãn $m^2>4n$. Chứng minh rằng phương trình :
$$f''(x) + mf'(x)+nf(x)=0$$
có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(x_1;x_3)$.
 

Câu 2: 
Tìm số dương $k$ lớn nhất thỏa mãn
$$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-k)\geq k$$,
với $a,b,c$ là các số thực không âm,không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$.
 

Câu 3:
 Cho tứ giác có chu vi bằng $4$.
Xác định tứ giác để nó có diện tích lớn nhất. Tìm diện tích lớn nhất đó.
 

Câu 4:
 Cho đa thức $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$.
Chứng minh rằng, nếu tồn tại $m\in\mathbb{N*}$ sao cho
$$\frac{a_0}{m}+\frac{a_1}{m+1}+\frac{a_2}{m+2}+...+\frac{a_n}{m+n}=0$$
thì $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

[Naruto37go]

ĐỀ SỐ 20

Câu 1 (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$
$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

Câu 2 (4,0 điểm).
Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} & & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4} & & \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).
1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.
2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

Câu 3 (2,0 điểm).
Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$

Câu 4 (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$.
Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.

Câu 5 (3,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a,SB=3a,SC=4a, \widehat{ASB}=\widehat{SAC}=90^o, \widehat{BSC}=120^o$.
Hai điểm $M,N$ thỏa mãn $3\overrightarrow{SM}=2\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SN}$.
1. Chứng minh tam giác $AMN$ vuông. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.
2. Cho hai điểm $E$ và $F$ thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng $AB$ và $SC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $EF$.

Câu 6 (4,0 điểm).
1. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}u_1=1;u_2=3 & & \\ u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}~~(\forall n\in \mathbb{N}, n\ge 2) & & \end{matrix}\right.$
Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty } S_n$ với $S_n=\sum _{i=1}^n \frac{1}{u_i}$
2. Cho số thực $x$ thay đổi lớn hơn $0$. Chứng minh rằng: $e^x+e^{-\frac{1}{x}}>2+x-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}$

Câu 7 (1,0 điểm).
Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3<2014 & & \\ 1\le x_i\le 1007, \forall i\in \left \{ 1;2;3 \right \} & & \end{matrix}\right.$

[nhatkinan]

nhiều bai thế này lam bh ms xong