Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $ \sum_{k=1995}^{2000}U_{k}^{2} \vdots 30$

- - - - - bai qua kho giup to voi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
superkilll

superkilll

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $U_{1}=1; U_{2}=2; U_{n+2}= U_{n+1}+9U_{n}$ nếu $n = 2k$ và $U_{n+2}= 9U_{n+1}+5U_{n}$ nếu $n = 2k + 1$ với mọi $n = 0,1,2, ...$

a) CMR $ \sum_{k=1995}^{2000}U_{k}^{2}   \vdots  30$

b) CMR $U_{2n+1}$ không là số chính phương với mọi $n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-09-2024 - 20:36
Tiêu đề & Bài viết


#2
wrlong

wrlong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết

Xin phép mình phản chứng câu b, tại n=2 thì $u_{5}=484=22^2$ ạ.

Còn vè ý tưởng thì mình vẫn chưa nghĩ ra, thôi thì mong ai có cách giải hay ạ ( Dãy số tưởng đưa về box Dãy số của HSG nhỉ )



#3
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 199 Bài viết

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $U_{1}=1; U_{2}=2; U_{n+2}= U_{n+1}+9U_{n}$ nếu $n = 2k$ và $U_{n+2}= 9U_{n+1}+5U_{n}$ nếu $n = 2k + 1$ với mọi $n = 0,1,2, ...$

a) CMR $ \sum_{k=1995}^{2000}U_{k}^{2}   \vdots  30$

b) CMR $U_{2n+1}$ không là số chính phương với mọi $n$.

Lời giải câu a)

Bằng quy nạp, được $u_{3k+r}^2 \equiv u_r^2 \pmod 4, \forall 0 \leq r \leq 2$

Chứng minh được $u_n \equiv 9^n \pmod 5, \forall n \not \vdots 2$

Tương tự thì $u_n \equiv 18^{n-1} \pmod 5, \forall n \vdots 2$

Vậy cộng lại và sử dụng một ít số học là ra 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh