Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm
Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm
#1
Đã gửi 27-10-2016 - 16:19
#2
Đã gửi 28-10-2016 - 08:03
Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm
Đặt $y=\sin^4x+(1-\sin x)^4$ (đây là hàm liên tục)
Ta cần tìm GTLN và GTNN của $y$.
Cách 1 :
Đặt $a=\sin x$ ; $b=1-\sin x$ ($a\in \left [ -1;1 \right ],b\in \left [ 0;2 \right ]$).Ta có :
$a+b=1\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1$ (1)
Mặt khác $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\geqslant 0$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geqslant 1\Rightarrow a^2+b^2\geqslant \frac{1}{2}$
Tiếp tục như trên $\Rightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\geqslant \frac{1}{4}$
Và $a^4-2a^2b^2+b^4\geqslant 0$
$\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geqslant \frac{1}{4}\Rightarrow y=a^4+b^4\geqslant \frac{1}{8}$ (dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$)
Ta lại có :
$\left | a \right |\leqslant 1$ ; $\left | b \right |\leqslant 2$ (các dấu bằng xảy ra đồng thời khi $\sin x=-1$)
$\Rightarrow y=\left | a \right |^4+\left | b \right |^4\leqslant 1^4+2^4=17$
Vậy điều kiện có nghiệm là $\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant 17.$
Cách 2 :
$y'=4\cos x(2\sin^3x-3\sin^2x+3\sin x-1)$
$y'=0\Leftrightarrow \cos x=0$ hoặc $\sin x=\frac{1}{2}$
+ $\cos x=0;\sin x=1\Rightarrow y=1$ (3)
+ $\cos x=0;\sin x=-1\Rightarrow y=17$ (4)
+ $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{8}$ (5)
(3),(4),(5) $\Rightarrow \max\ y=17$ ; $\min\ y=\frac{1}{8}$
Vậy điều kiện có nghiệm là $\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant 17.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-10-2016 - 10:37
- Truong Gia Bao, Element hero Neos và NTL2k1 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh