Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}$

bất đẳng thức nhận dạng tam giác phương trình công thức lượng giác phương trình lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Basara

Basara

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Chứng minh tam giác ABC đều khi và chỉ khi

$\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Basara: 29-10-2016 - 21:39


#2
mathtp

mathtp

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

cho lại đề cái bạn



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta quy bài toán về chứng minh: $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}\geqslant \frac{3}{2}$ và dấu bằng xảy ra khi $cosA=cosB=cosC=\frac{1}{2}$

Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ thì theo định lý Côsin, ta cần chứng minh: $\frac{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{2c^2(a^2+b^2-c^2)}+\frac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{2a^2(b^2+c^2-a^2)}+\frac{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2b^2(c^2+a^2-b^2)}\geqslant \frac{3}{2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=x & \\ c^2+a^2-b^2=y & \\ a^2+b^2-c^2=z & \end{matrix}\right.$  thì ta cần chứng minh: $\frac{xy}{z(x+y)}+\frac{yz}{x(y+z)}+\frac{zx}{y(z+x)}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy, ta có: $\frac{xy}{z(x+y)}+\frac{yz}{x(y+z)}+\frac{zx}{y(z+x)}=\frac{x^2y^2}{xyz(x+y)}+\frac{y^2z^2}{xyz(y+z)}+\frac{z^2x^2}{xyz(z+x)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{2.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

Vậy $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều

Ngược lại khi tam giác $ABC$ đều thì dễ có $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, nhận dạng tam giác, phương trình, công thức lượng giác, phương trình lượng giác

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh