Chứng minh tam giác ABC đều khi và chỉ khi
$\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Basara: 29-10-2016 - 21:39
Chứng minh tam giác ABC đều khi và chỉ khi
$\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Basara: 29-10-2016 - 21:39
cho lại đề cái bạn
Ta quy bài toán về chứng minh: $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}\geqslant \frac{3}{2}$ và dấu bằng xảy ra khi $cosA=cosB=cosC=\frac{1}{2}$
Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ thì theo định lý Côsin, ta cần chứng minh: $\frac{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{2c^2(a^2+b^2-c^2)}+\frac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{2a^2(b^2+c^2-a^2)}+\frac{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2b^2(c^2+a^2-b^2)}\geqslant \frac{3}{2}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=x & \\ c^2+a^2-b^2=y & \\ a^2+b^2-c^2=z & \end{matrix}\right.$ thì ta cần chứng minh: $\frac{xy}{z(x+y)}+\frac{yz}{x(y+z)}+\frac{zx}{y(z+x)}\geqslant \frac{3}{2}$
Thật vậy, ta có: $\frac{xy}{z(x+y)}+\frac{yz}{x(y+z)}+\frac{zx}{y(z+x)}=\frac{x^2y^2}{xyz(x+y)}+\frac{y^2z^2}{xyz(y+z)}+\frac{z^2x^2}{xyz(z+x)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{2.\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{2}$
Vậy $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều
Ngược lại khi tam giác $ABC$ đều thì dễ có $\frac{cosA.cosB}{cosC}+\frac{cosB.cosC}{cosA}+\frac{cosC.cosA}{cosB}=\frac{3}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh