Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Tìm các hàm số thỏa $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$
#1
Đã gửi 30-10-2016 - 17:08
#2
Đã gửi 12-11-2016 - 20:06
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y)), \forall x, y \in \mathbb{R}.$
Thay x=y=0 vào (1): f(0)=0
Thay y bởi x vào (1): f(2x)=2f(x)
Thay x bởi 3x, y bởi x vào (1):
$f(4x)+f(2x)=2f(3x)+2f(x)\Leftrightarrow 2f(2x)+f(2x)=2f(3x)+f(2x)\Leftrightarrow f(3x)=f(2x)$
Suy ra: $f(x)=f(\frac{2}{3}x)=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^2x)=...=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)$
Vì f liên tục nên: $limf(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)=f(lim(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx))=f(0)=0$
Vậy f(x)=0 với mọi x thuộc R
#3
Đã gửi 21-01-2017 - 23:38
Thay x=y=0 vào (1): f(0)=0
Thay y bởi x vào (1): f(2x)=2f(x)
Thay x bởi 3x, y bởi x vào (1):
$f(4x)+f(2x)=2f(3x)+2f(x)\Leftrightarrow 2f(2x)+f(2x)=2f(3x)+f(2x)\Leftrightarrow f(3x)=f(2x)$
Suy ra: $f(x)=f(\frac{2}{3}x)=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^2x)=...=f(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)$
Vì f liên tục nên: $limf(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx)=f(lim(\left ( \frac{2}{3} \right )^nx))=f(0)=0$
Vậy f(x)=0 với mọi x thuộc R
$f(x) = f(1)x^2$ thỏa nhé.
Bài này dùng quy nạp theo kiểu Cauchy.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh