Chủ đề này có 1 trả lời

[LTTK]

Cho dãy số được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
x_1=\dfrac{2}{3} & \\
x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}(n=1,2...)&
\end{matrix}\right.$

Hãy tính tổng của 2017 số hạng đầu tiên của dãy số.

[hxthanh]

Cho dãy số được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
x_1=\dfrac{2}{3} & \\
x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}(n=1,2...)&
\end{matrix}\right.$
Hãy tính tổng của 2017 số hạng đầu tiên của dãy số.

$\quad \frac{1}{x_{n+1}}=2(2n+1)+\frac{1}{x_n}$
$\Rightarrow \frac{1}{x_n}=2(2n-1)+2(2n-3)+...+2.3+\frac{3}{2}=2n^2-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x_n=\frac{2}{4n^2-1}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
$\Rightarrow \sum_{k=1}^nx_k=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$
Thay $n=2017...$