Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}log_2x=log_3\frac{4+y^2}{y^2} \\ 4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{4+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}log_2x=log_3\frac{4+y^2}{y^2} \\ 4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{4+y^2}=0 \end{matrix}\right.$

Đặt $log_{2}x=log_{3}(\frac{4+y^{2}}{y^{2}})=t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2^{t} & \\ y^{2}=\frac{4}{3^{t}-1} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2^{t} & \\ y=\frac{-2}{\sqrt{3^{t}-1}} & \end{matrix}\right.(do:y< 0)$$(\Rightarrow 3^{t}>1)$

Thay vào phương trình (2) ta có:

$4\sqrt{2^{t}+1}=2^{t}.\frac{2}{\sqrt{3^{t}-1}}.\sqrt{\frac{4.3^{t}}{3^{t}-1}}\Leftrightarrow \frac{4\sqrt{2^{t}+1}}{2^{t}}=\frac{4\sqrt{3^{t}}}{3^{t}-1}$

Xét $f(a)=\frac{4a}{a^{2}-1},a> 1\Rightarrow f'(a)=\frac{-4-4a^{2}}{(a^{2}-1)^{2}}< 0; f(\sqrt{2^{t}+1})=f(\sqrt{3^{t}})\Leftrightarrow 2^{t}+1=3^{t}(*)$

Dùng đơn điệu hàm số dễ dàng chứng minh được phương trình (*) có nghiệm duy nhất t=1

Vậy $x=2;y=-\sqrt{2}$

[Baoriven]

Điều kiện: $x> 0,y< 0$.

Ta có: $PT(2)\Leftrightarrow x^2y^2+4x^2y^2-16x-16=0(3)$.

Phương trình $(3)$ có: $\Delta = (2x^2+4x)^2$.

Nên $y^2=\frac{4}{x}$ (Ta loại đi $1$ trường hợp).

Từ đó, ta giải phương trình: $log_2x=log_3{(x+1)$.$(4)$

Đặt $u=log_2x$.

Khi đó: $(4)\Leftrightarrow (\frac{2}{3})^u+(\frac{1}{3})^u=1$.

Xét hàm số: $f(u)=(\frac{2}{3})^u+(\frac{1}{3})^u$.

Ta có $f'(u)< 0$ Nên $f(u)$ nghịch biến.

Mà $f(u)=f(1)$ Nên $u=1$.

Suy ra: $x=2$. Ta được nghiệm $(x;y)=(2;-\sqrt{2})$.