Cho $X$ là không gian Metric và $B$ là tập con thực sự khác rỗng của $X$.
a, Tồn tại hay không tập $B$ vừa mở, vừa đóng trong $X$.
b. Tồn tại hay không tập $B$ vừa mở, vừa đóng trong $X$ nếu $X$ là không gian định chuẩn?
Tồn tại hay không tập vừa đóng vừa mở trong không gian Metric
Started By hoangtubatu955, 02-11-2016 - 22:22
#2
Posted 03-11-2016 - 14:36
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 posts
Thiếu úy
Cho $X$ là không gian Metric và $B$ là tập con thực sự khác rỗng của $X$.
a, Tồn tại hay không tập $B$ vừa mở, vừa đóng trong $X$.
b. Tồn tại hay không tập $B$ vừa mở, vừa đóng trong $X$ nếu $X$ là không gian định chuẩn?
Câu a thì xét không gian metric rời rạc ta có ngay câu trả lời.
Câu b câu trả lời là không tồn tại. Với mỗi không gian định chuẩn $(X,||.||)$, và 2 phần tử $a, b$ ta xét $f:[0,1]\rightarrow X$, $f(x)=(1-x)a+xb$ thì $f(0)=a$, $f(1)=b$. Do $X$ là không gian định chuẩn nên ta có $||f(x)-f(x_{0})||=|x-x_0|.||a-b||$. Từ đây suy ra ngay $f$ là liên tục, và do đó $X$ là liên thông cung nên $X$ liên thông.
Edited by vutuanhien, 06-11-2016 - 11:07.
- hoangtubatu955 and chuyentoan1998 like this
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
