Đến nội dung

Hình ảnh

Dãy $2^n+3^n-i$ gồm toàn hợp số

- - - - - vô hạn số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho dãy $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\ldots ,2^n+3^n-k$ gồm toàn các hợp số.

China MO


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 04-11-2016 - 17:06


#2
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Chọn $N$ đủ lớn sao cho $2^N+3^N-k>3$.

Nếu $2^N+3^N-i$ không có ước nguyên tố khác $2,3$ thì với mọi $n\geq N$, cùng tính chẵn lẻ với $N$, $2^n+3^n-k$ là hợp số.

Ta lấy ước nguyên tố khác $2,3$ của $m$ số $2^N+3^N-i_j$ còn lại là $p_1,p_2,...,p_m$.

Lấy $n=N+2q\prod_{j=1}^{m}(p_i-1)$.

Giờ thì với các số $i_j$, ta có theo Fermat: $2^n+3^n-i_j\equiv 2^N+3^N-i_j\equiv 0(mod p_j),2^n+3^n-i_j>2^N+3^N-i_j\geq p_j$ nên là hợp số. Các TH còn lại cũng là hợp số.

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 09-11-2016 - 20:51






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vô hạn, số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh