Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho dãy $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\ldots ,2^n+3^n-k$ gồm toàn các hợp số.
China MO
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 04-11-2016 - 17:06
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$, tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho dãy $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,\ldots ,2^n+3^n-k$ gồm toàn các hợp số.
China MO
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 04-11-2016 - 17:06
Chọn $N$ đủ lớn sao cho $2^N+3^N-k>3$.
Nếu $2^N+3^N-i$ không có ước nguyên tố khác $2,3$ thì với mọi $n\geq N$, cùng tính chẵn lẻ với $N$, $2^n+3^n-k$ là hợp số.
Ta lấy ước nguyên tố khác $2,3$ của $m$ số $2^N+3^N-i_j$ còn lại là $p_1,p_2,...,p_m$.
Lấy $n=N+2q\prod_{j=1}^{m}(p_i-1)$.
Giờ thì với các số $i_j$, ta có theo Fermat: $2^n+3^n-i_j\equiv 2^N+3^N-i_j\equiv 0(mod p_j),2^n+3^n-i_j>2^N+3^N-i_j\geq p_j$ nên là hợp số. Các TH còn lại cũng là hợp số.
(Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 09-11-2016 - 20:51
For the love of Canidae
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học →
Định đề BertrandBắt đầu bởi IHateMath, 04-11-2016 số nguyên tố |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tồn tại $n$ số nguyên liên tiếp không là lũy thừa số nguyên tốBắt đầu bởi bangbang1412, 13-06-2014 số nguyên tố |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả $n$ để $A$ là số nguyên tốBắt đầu bởi bangbang1412, 08-06-2014 số nguyên tố |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh