Chủ đề này có 5 trả lời

[yeutoan2001]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $P=\frac{x^3+y^3-x^2y^2}{(x+y)^2}$  là só nguyên không âm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-11-2016 - 20:58

[I Love MC]

+) $x=y \Rightarrow  x=y=2$ 
+) $x \ne y$ đặt $d=(x,y) \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1,(x_1,y_1)=1$ 
$(x+y)^2|(x^3+y^3-x^2y^2) \Leftrightarrow (x+y)^2|xy(3x+3y+xy) \Leftrightarrow (x_1+y_1)^2|dx_1y_1(3x_1+3y_1+dx_1y_1)$  
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $d$. 
Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$ 
$\Rightarrow v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)<0 \Rightarrow (x_1+y_1)|d$
Chú ý $x^3+y^3-(xy)^2=d^3(x_1^3+y_1^3-dx_1^2y_1^2)$ 
Mà $x_1^3+y_1^3=(x_1+y_1)(x_1^2+y_1^2-x_1y_1)<dx_1^2y_1^2 \Rightarrow x^3+y^3-(xy)^2$ (vô lí)  
Vậy $x=y=2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-11-2016 - 21:11

[yeutoan2001]

Cảm ơn bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 09-11-2016 - 23:03

[yeutoan2001]

+) $x=y \Rightarrow  x=y=2$ 
+) $x \ne y$ đặt $d=(x,y) \Rightarrow x=dx_1,y=dy_1,(x_1,y_1)=1$ 
$(x+y)^2|(x^3+y^3-x^2y^2) \Leftrightarrow (x+y)^2|xy(3x+3y+xy) \Leftrightarrow (x_1+y_1)^2|dx_1y_1(3x_1+3y_1+dx_1y_1)$  
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $d$. 
Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$ 
$\Rightarrow v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)<0 \Rightarrow (x_1+y_1)|d$
Chú ý $x^3+y^3-(xy)^2=d^3(x_1^3+y_1^3-dx_1^2y_1^2)$ 
Mà $x_1^3+y_1^3=(x_1+y_1)(x_1^2+y_1^2-x_1y_1)<dx_1^2y_1^2 \Rightarrow x^3+y^3-(xy)^2$ (vô lí)  
Vậy $x=y=2$ 

Nếu $v_p((x_1+y_1)^2)-v_p(d)>0$ vô lí vì $(x_1,y_1+x_1)=(y_1,x_1+y_1)=1$  Bạn có thể chi tiết chỗ này giùm mình với được không 

[Kamii0909]

Mình lý luận không được chắc chắn lắm có gì sai sót mong bạn chỉ giúp.

đặt $a=x+y,b=xy$

thì $a^2|a^3-3ab-b^2$ hay $a^2|3ab+b^2$

Từ đó $ka^2-3ab-b^2=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì 

$\Delta =b^2(4k+9)$ nên $4k+9$ phải là số chính phương lẻ.

Từ đó tính được $k=m^2+m-2$

thay vào công thức nghiệm được $a= \frac{b}{m-1}$ hoặc $a= \frac{b}{m+2}$

Cả 2 đều chứng tỏ $a|b$ hay $x+y|xy$ nghĩa là $xy=p(x+y)$

Từ đề bài thì tử số phải không âm hay

$x+y \geq 3p+p^2$

Nếu $x=y$ thì $p= \frac{x}{2}$ thay vào có $x \leq 2$

$x=y=1$ KTM, $x=y=2$ TM.

TH còn lại xử lí như trên.

[yeutoan2001]

Mình lý luận không được chắc chắn lắm có gì sai sót mong bạn chỉ giúp.

đặt $a=x+y,b=xy$

thì $a^2|a^3-3ab-b^2$ hay $a^2|3ab+b^2$

Từ đó $ka^2-3ab-b^2=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ thì 

$\Delta =b^2(4k+9)$ nên $4k+9$ phải là số chính phương lẻ.

Từ đó tính được $k=m^2+m-2$

thay vào công thức nghiệm được $a= \frac{b}{m-1}$ hoặc $a= \frac{b}{m+2}$

Cả 2 đều chứng tỏ $a|b$ hay $x+y|xy$ nghĩa là $xy=p(x+y)$

Từ đề bài thì tử số phải không âm hay

$x+y \geq 3p+p^2$

Nếu $x=y$ thì $p= \frac{x}{2}$ thay vào có $x \leq 2$

$x=y=1$ KTM, $x=y=2$ TM.

TH còn lại xử lí như trên.

Quá hay cảm ơn bạn thế mà mình cứ bước nhảy Vi-et cả buổi