Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhdung94]

Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 10-11-2016 - 09:59

[MATHVNkakaka]

tổ hợp ?

[Dark Repulsor]

Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.

Vì tích của các số ntố cần tìm chia hết cho $10$ nên phải có $2$ số ntố $2$ và $5$

Gọi các số ntố còn lại là $p_{1}\leq p_{2}\leq ... \leq p_{n}$ . Từ gt $\Rightarrow p_{1}p_{2}...p_{n}=7+p_{1}+p_{2}+...+p_{n}$       ($1$)

Dễ thấy $n\geq 2$

- Với $n=2$ , từ ($1$) $\Rightarrow p_{1}p_{2}=7+p_{1}+p_{2}\Leftrightarrow (p_{1}-1)(p_{2}-1)=8\Rightarrow p_{1}=3,p_{2}=5$

- Với $n\geq 3$ , xét $2$ TH:

+ TH$1$: Nếu $p_{n}=2$ thì ($1$) trở thành: $2^n=7+2n$ (vô lý)

+ TH$2$: Nếu $p_{n}\geq 3$ , đặt $p_{1}+p_{2}+...+p_{n-1}=s\geq 4$ (vì $n\geq 3$)

Dễ c/m: $p_{1}p_{2}...p_{n-1}\geq p_{1}+p_{2}+...+p_{n-1}=s$ . Kết hợp với ($1$) ta đc: $sp_{n}\leq 7+s+p_{n}\Leftrightarrow (p_{n}-1)(s-1)\leq 8$

Vì $p_{n}\geq 3,s\geq 4$ thì bđt xảy ra $\Leftrightarrow p_{n}=3,s\leq 5\Rightarrow p_{1}=p_{2}=2$ hoặc $p_{1}=2,p_{2}=3$ (ko thỏa)

Vậy bộ số ntố duy nhất tm đề bài là $(2;5;3;5)$

[Kamii0909]

Làm gọn như sau
Dễ thấy có 2 số là 2 và 5.
Đặt số lớn nhất là $x$ thì
$VP \geq 2^{n-1} x$.
$VT \leq nx+7$
Từ đó $x(2^{n-1} -n) \leq 7$
Mà $x \geq 2 $ nên $2^{n-1} \leq 3+n$
Ta thấy điều này chỉ đúng với $n=1,2$
$n=1$ vô nghiệm nên $n=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 09-11-2016 - 15:13