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[chieckhantiennu]

Tính tổng:

a). $S_1=1.C_{0}^{n}+2.C_{1}^{n}+3.C_{2}^{n}+..+(n+1).C_{n}^{n}$

b) $S_2=1.C_{2}^{n}-2.C_{3}^{n}+3.C_{4}^{n}-..+(-1)^n.(n-1).C_{n}^{n}$

[chanhquocnghiem]

Tính tổng:

a). $S_1=1.C_{0}^{n}+2.C_{1}^{n}+3.C_{2}^{n}+..+(n+1).C_{n}^{n}$

b) $S_2=1.C_{2}^{n}-2.C_{3}^{n}+3.C_{4}^{n}-..+(-1)^n.(n-1).C_{n}^{n}$

Sửa lại đề :

a) $S_1=1.C_n^0+2.C_n^1+3.C_n^2+...+(n+1)C_n^n$

b) $S_2=1.C_n^2-2.C_n^3+3.C_n^4-...+(-1)^n.(n-1).C_n^n$

 

Cách 1 (không dùng đạo hàm)

a) Chú ý rằng $C_n^k=C_n^{n-k}$, ta có :

   $2S_1=[C_n^0+2.C_n^1+3.C_n^2+...+(n+1)C_n^n]+[C_n^n+2.C_n^{n-1}+3.C_n^{n-2}+...+(n+1)C_n^0]=(n+2)(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n)=(n+2).2^n$

   $\Rightarrow S_1=(n+2).2^{n-1}$

b) Đặt 

   $T_1=(-1)^nC_n^n$

   $T_2=(-1)^{n-1}C_n^{n-1}+(-1)^nC_n^n$

   $T_3=(-1)^{n-2}C_n^{n-2}+(-1)^{n-1}C_n^{n-1}+(-1)^nC_n^n$

   .....................................................................

   $T_{n-1}=C_n^2-C_n^3+C_n^4-C_n^5+...+(-1)^{n-2}C_n^{n-2}+(-1)^{n-1}C_n^{n-1}+(-1)^nC_n^n$

   Ta có : $S_2=T_1+T_2+...+T_{n-1}$

   Mặt khác :

   $T_1=(-1)^nC_n^n=(-1)^nC_{n-1}^{n-1}$

   $T_2=(-1)^{n-1}C_n^{n-1}+T_1=(-1)^{n-1}C_n^{n-1}+(-1)^nC_{n-1}^{n-1}=(-1)^{n-1}C_{n-1}^{n-2}$

   $T_3=(-1)^{n-2}C_n^{n-2}+T_2=(-1)^{n-2}C_n^{n-2}+(-1)^{n-1}C_{n-1}^{n-2}=(-1)^{n-2}C_{n-1}^{n-3}$

   ......................................................................

   $T_{n-2}=-C_n^3+T_{n-3}=-C_n^3+C_{n-1}^3=-C_{n-1}^2$

   $T_{n-1}=C_n^2+T_{n-2}=C_n^2-C_{n-1}^2=C_{n-1}^1$

   Vậy $S_2=C_{n-1}^1-C_{n-1}^2+C_{n-1}^3-...+(-1)^nC_{n-1}^{n-1}=C_{n-1}^0=1$

 

Cách 2 (dùng đạo hàm)

a) Đặt $f(x)=(1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n$

    Lấy đạo hàm : $f'(x)=n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^nx^{n-1}$

    $\Rightarrow f'(1)=n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n$ (1)

    Mà $2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$ (2)

    (1),(2) $\Rightarrow S_1=C_n^0+2C_n^1+...+(n+1)C_n^n=n.2^{n-1}+2^n=(n+2).2^{n-1}$

b) Đặt $f(x)=(1-x)^n=C_n^0-C_n^1x+C_n^2x^2-...+(-1)^nC_n^nx^n$

    Lấy đạo hàm : $f'(x)=-n(1-x)^{n-1}=-C_n^1+2C_n^2x-3C_n^3x^2+...+(-1)^nnC_n^nx^{n-1}$

    $\Rightarrow f'(1)=0=-C_n^1+2C_n^2-3C_n^3+...+(-1)^nC_n^n$ (3)

    Mặt khác $1=C_n^0=C_n^1-C_n^2+C_n^3-...+(-1)^{n-1}C_n^n$ (4)

    (3),(4) $\Rightarrow S_2=C_n^2-2C_n^3+3C_n^4-...+(-1)^n(n-1)C_n^n=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-11-2016 - 14:08