Chủ đề này có 3 trả lời

[huykinhcan99]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BD$, $CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là điểm chính giữa của cung $BC$ không chứa $A$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AI$ cắt $AB$, $AC$ theo thứ tự tại $M$, $N$. Chứng minh $IM$, $IN$ tiếp xúc với $(AMN)$

[quantv2006]

Bài này có lẽ ngược với bài thi vào lớp 10 chuyên HN năm vừa rồi.

 

 

Chứng minh theo các bước sau:

 

1. Gọi K là giao của (AMN) và (O). HK sẽ vuông góc với AK tại K

 

- Chứng minh MH là phân giác góc EHB, NH là phân giác góc DHC. Từ đó có hệ thức ME/MB = HE/HB = HD/HC=ND/NC

 

- CM tam giác KMN và KBC đồng dạng, từ đó có tam giác KMB và KNC đồng dạng. Dựa vào ME/MB=ND/NC có tam giác KEB và KDC đồng dạng. Vậy KED và KBC đồng dạng. Nên góc EKD = góc BKC = góc BAC = góc EAD hay AKED là tứ giác nội tiếp.

 

- AKED là tứ giác nội tiếp nên K nằm trên (AED). AED có đường kính AH nên góc AKH vuông tại K.

 

2. KH cắt (O) tại G, cắt (AMN) tại P. AP và AG lần lượt là đường kính của (AMN) và (O).

 

Do AMN cân tại A nên tâm J của đường tròn (AMN) nằm trên AI, vậy P nằm trên AI.

 

3. Gọi Q là giao của KI và AH. Chứng minh góc PKQ = góc PAQ nên Q cũng nằm trên (AMN).

 

4. Dễ chứng minh được KA, MN, PQ đồng quy tại T.

 

5. Xét đường tròn (AMN) có 2 cát tuyến IQK, IPA; KA, PQ cắt nhau tại T. Cát tuyến TMN vuông góc với IJ. Vậy IM, IN là tiếp tuyến của (AMN) tâm J.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantv2006: 11-11-2016 - 10:46

[Kamii0909]

Bài này có khá nhiều cách giải.
1.Dễ thấy $\Delta AMN $ cân.
Gọi giao điểm $(O)$ và $(ADE)$ là $K$.
Khi đó $K$ cũng thuộc $(AMN)$.
Dễ có $AI,KH$ cắt nhau tại 1 điểm trên $(AMN)$ là $X$.
Ta có $\frac{AM}{AN}=\frac{XM}{XN}$ nên AMXN điều hòa.
2. Theo định lý về tâm đẳng phương
$AK,BC,DE$ đồng quy tại $P$.
Gọi $Q$ là giao điểm $AH$ và $KI$.
Do $AO$,$AH$ đẳng giác nên $Q$ thuộc $(AMN)$.
$AQ$ cắt $BC$ tại $Y$.
Dễ có $(PY,BC)=-1$.
Chiếu hàng này lên $(AMN)$ thì $KMQN$ điều hòa.
Tư đó $KQ$ và $AX$ cắt nhau tại $I$ là giao điểm 2 tiếp tuyến của $(AMN)$.

[Le Ng Lan Phuong]

oa tuyệt thật