SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI VÔ ĐỊCH LẦN 3 LỚP 10A1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Năm học 2016-2017
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5,0 điểm).
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{\sqrt{a^2-ab+b^2}}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{b^2-bc+c^2}}{\sqrt{bc}+1}+\frac{\sqrt{c^2-ca+a^2}}{\sqrt{ca}+1}$
Câu 2 (5,0 điểm).
Tìm tất cả bộ ba số hữu tỉ dương $(m;n;p)$ sao cho ba số sau đều là số nguyên
$m+\frac{1}{np};n+\frac{1}{pm};p+\frac{1}{mn}$
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$ có $B,C$ cố định và $A$ thay đổi. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB, AC.$
a) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Giả sử đường thẳng $EF$ cắt các đường thẳng $AO, BC$ tại $M,N$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ đi qua điểm cố định.
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại $E$ và $F$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng $T$ thuộc đường thẳng cố định.
Câu 4 (5,0 điểm).
a) Xung quanh bờ hồ hình tròn trồng $2017$ cây liễu. Người ta dự định chặt đi $5$ cây sao cho không có $2$ cây nào kề nhau thì bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?
b) Một cuộc họp có $12k (k\in\mathbb{N^*})$ người, trong đó mỗi người bắt tay $3k+6$ người khác. Biết rằng với mọi cách chọn $2$ cặp người $(A,B)$ thì số người bắt tay với cả hai người $A$ và $B$ luôn là $m(m\in\mathbb{N^*}, m\leq3k+6$)$. Hỏi cuộc họp có bao nhiêu người?
-------Hết-------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 11-11-2016 - 20:11