2. Với mỗi số nguyên dương $n$, xét phương trình
$2016^x+x+n=0 (*) $
CMR với mỗi $n$, phương trình trên có đúng một nghiệm thực và gọi nghiệm đó là $x_n$. Xét dãy ${x_n}$. Tìm
$lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n+1}-x_n) $.
Lời giải: trước tiên ta đi chứng minh rằng với mọi $ n \in \mathbb{N}^{*}$, phương trình $(*)$ có đúng $1$ nghiệm thực $x_n$.
Thật vậy khi cố định $n$, xét hàm $ f(x) = 2016^{x} + x +n$
, rõ ràng $f^{'} (x) = \ln 2016 \cdot 2016^{x-1} +1 > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R}$ do đó $f$ là hàm đơn điệu tăng, do đó nghiệm của phương trình $f(x) =0$ nếu có sẽ là duy nhất $(1)$. Mặt khác, do $f$ là hàm sơ cấp xác định trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$ và $ \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ và $ \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ nên phương trình $f(x) =0$ sẽ có ít nhất một nghiệm thực $(2)$.
Từ lập luận $(1); (2)$ ở trên, ta suy ra: với mọi $ n \in \mathbb{N}^{*}$, phương trình $(*)$ có đúng $1$ nghiệm thực $x_n$.
Mặt khác ta dễ thấy $x_n < 0$ do $ f(0) = n +1 >0$, dãy $(x_n)$ còn đồng thời là dãy đơn điệu giảm, vì giả sử $ x_{n+1} \ge x_n$
thì suy ra : $ 2016^{x_{n+1}} + x_{n+1} +n \ge 2016^{x_n} + x_n +n \implies -1 \ge 0$, vô lý
(do $2016^{x_{n+1}}+ x_{n+1} + n+1 =0$).
Vậy $(x_n)$ là dãy giảm nghiêm ngặt, và ta cũng không khó để chứng minh dãy này không bị chặn dưới.
Vì nếu dãy này bị chặn dưới thì nó sẽ có giới hạn hữu hạn. Khi đó ta cho $n$ tiến dần ra vô cùng thì $2016^{x_n} + x_n$ sẽ tiến dần đến $1$ hằng số nào đó, suy ra $2016^{x_n} + x_n + n$ sẽ tiến dần ra dương vô cùng, vô lý.
Suy ra $ \lim_{ n \to + \infty} x_n = - \infty $
$ \implies \lim_{ n \to + \infty} 2016^{x_n} = \lim_{ n \to + \infty} 2016^{x_{n+1}} = 0$
Suy ra $ \lim_{ n \to + \infty} (x_{n+1} – x_n ) = \lim_{ n \to + \infty} \left( -n-1- 2016^{x_{n+1}} +n + 2016^{x_n} \right) = \lim_{ n \to + \infty} \left( -1 – 2016^{x_{n+1}} + 2016^{x_n} \right) = -1 -0 + 0 = -1$
Suy ra $ \lim_{ n \to + \infty} (x_{n+1} – x_n ) = -1$
Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-02-2017 - 13:58
