Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho $A\subset \mathbb{R},B\subset \mathbb{R}$; định nghĩa:

$A+B \text{:=}(x\in \mathbb{R}\text{|   } \exists a\in A,\exists b\in B,x=a+b)$

$AB \text{:=}(x\in \mathbb{R}\text{|     } \exists a\in A,\exists b\in B,x=ab)$.

Nghĩa là: $A+B$ là tập các số thực có dạng $a+b$ với $a\in A;b\in B$; $AB$ là tập các số thực có dạng $ab,a\in A,b\in B$.

1. Giả sử $A,B$ bị chặn trên, chứng minh rằng: $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$.

2. Giả sử $A,B$ bị chặn trên, $A\in \mathbb{R}^{+},B\in \mathbb{R}^{+}$, chứng minh rằng: $sup(AB)=sup(A)sup(B)$.

[vutuanhien]

Cho $A\subset \mathbb{R},B\subset \mathbb{R}$; định nghĩa:

$A+B \text{:=}(x\in \mathbb{R}\text{|   } \exists a\in A,\exists b\in B,x=a+b)$

$AB \text{:=}(x\in \mathbb{R}\text{|     } \exists a\in A,\exists b\in B,x=ab)$.

Nghĩa là: $A+B$ là tập các số thực có dạng $a+b$ với $a\in A;b\in B$; $AB$ là tập các số thực có dạng $ab,a\in A,b\in B$.

1. Giả sử $A,B$ bị chặn trên, chứng minh rằng: $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$.

2. Giả sử $A,B$ bị chặn trên, $A\in \mathbb{R}^{+},B\in \mathbb{R}^{+}$, chứng minh rằng: $sup(AB)=sup(A)sup(B)$.

Chỉ cần dùng định nghĩa thôi. Giả sử $x=\sup{A}$, $y=\sup{B}$. Hiển nhiên $x+y\geq a+b$ với mọi $a\in A, b\in B$. Với mỗi $\epsilon> 0$, tồn tại $a\in A, b\in B$ sao cho $x-\epsilon<a, y-\epsilon<b$. Cộng lại ta có $x+y-2\epsilon< a+b$. Theo định nghĩa ta có ngay $x+y$ là cận trên đúng của $A+B$.

Câu b làm tương tự. Chú ý rằng $ab>(x-\epsilon)(y-\epsilon)>xy-(x+y).\epsilon$